1個のサイコロを3回投げる試行において、以下の確率を求める問題です。 (1) 出た目が全て奇数となる確率、3回のうち1回だけ5の目が出る確率 (2) 出た目の積が3で割り切れる確率、出た目の和が7になる確率 (3) 出た目の最大値が5以下である確率、出た目の最大値が5である確率

1. 問題の内容

1個のサイコロを3回投げる試行において、以下の確率を求める問題です。

(1) 出た目が全て奇数となる確率、3回のうち1回だけ5の目が出る確率

(2) 出た目の積が3で割り切れる確率、出た目の和が7になる確率

(3) 出た目の最大値が5以下である確率、出た目の最大値が5である確率

2. 解き方の手順

(1)

* 全て奇数となる確率: サイコロの目は1,2,3,4,5,6の6通り。奇数は1,3,5の3通り。よって1回の試行で奇数が出る確率は$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。3回とも奇数が出る確率は $(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$。

* 3回のうち1回だけ5の目が出る確率: 1回目に5が出て、2回目と3回目は5以外の目が出る場合、2回目に5が出て、1回目と3回目は5以外の目が出る場合、3回目に5が出て、1回目と2回目は5以外の目が出る場合の3通りがある。5が出る確率は$\frac{1}{6}$、5以外が出る確率は$\frac{5}{6}$なので、確率は$3 \times \frac{1}{6} \times (\frac{5}{6})^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$。

(2)

* 出た目の積が3で割り切れる確率：余事象を考える。積が3で割り切れないのは、3の倍数(3, 6)が一度も出ない場合。1回の試行で3の倍数が出ない確率は$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。3回とも3の倍数が出ない確率は$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$。よって、少なくとも1回は3の倍数が出る確率は $1 - \frac{8}{27} = \frac{19}{27}$。

* 出た目の和が7になる確率：和が7になる組み合わせは、(1,1,5), (1,2,4), (1,3,3), (2,2,3)の4パターンがある。ただし、(1,1,5)などは順番を考慮する必要がある。

* (1,1,5)の場合：並び方は3通り

* (1,2,4)の場合：並び方は6通り

* (1,3,3)の場合：並び方は3通り

* (2,2,3)の場合：並び方は3通り

よって、合計 $3+6+3+3=15$通り。全体の場合の数は $6^3 = 216$なので、確率は$\frac{15}{216} = \frac{5}{72}$。

(3)

* 出た目の最大値が5以下である確率：3回とも1から5のいずれかの目が出ればよい。1回の試行で1から5のいずれかが出る確率は$\frac{5}{6}$。3回ともそうなる確率は$(\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}$。

* 出た目の最大値が5である確率：最大値が5以下である確率から、最大値が4以下である確率を引けばよい。最大値が4以下である確率は、3回とも1から4のいずれかの目が出ればよいので$(\frac{4}{6})^3 = (\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27} = \frac{64}{216}$。よって、求める確率は$\frac{125}{216} - \frac{64}{216} = \frac{61}{216}$。

3. 最終的な答え

(1) ア: 1, イ: 8, ウエ: 25, オカ: 72

(2) キク: 19, ケコ: 27, サ: 5, シス: 72

(3) セソタ: 125, チツテ: 216, トナ: 61, ニヌネ: 216