ある市長選でA氏とB氏が立候補し、400人に対して出口調査を行った結果、A氏の得票数は208票だった。全有権者におけるA氏の支持率（母比率）の95%信頼区間を推定し、その結果からA氏について当確を出しても良いか理由を述べて判断する問題です。

1. 問題の内容

ある市長選でA氏とB氏が立候補し、400人に対して出口調査を行った結果、A氏の得票数は208票だった。全有権者におけるA氏の支持率（母比率）の95%信頼区間を推定し、その結果からA氏について当確を出しても良いか理由を述べて判断する問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1：標本比率を計算する。

標本比率 $\hat{p}$ は、標本における成功の割合です。この問題では、A氏の得票数（208票）を標本サイズ（400人）で割ることによって計算します。

$\hat{p} = \frac{208}{400} = 0.52$

ステップ2：標準誤差を計算する。

標準誤差 $SE$ は、標本比率の標準的なばらつきを表します。母比率の標準誤差は、以下の式で計算できます。

$SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、$n$ は標本サイズです。この問題では、$n = 400$ なので、標準誤差は以下のようになります。

$SE = \sqrt{\frac{0.52(1-0.52)}{400}} = \sqrt{\frac{0.52 \times 0.48}{400}} = \sqrt{\frac{0.2496}{400}} = \sqrt{0.000624} \approx 0.02498$

ステップ3：信頼区間を計算する。

95%信頼区間は、標本比率の周りに、真の母比率が95%の確率で含まれる範囲です。95%信頼区間は、以下の式で計算できます。

$\hat{p} \pm z \times SE$

ここで、$z$ は信頼水準に対応するzスコアです。95%信頼水準の場合、$z = 1.96$ です。したがって、95%信頼区間は以下のようになります。

$0.52 \pm 1.96 \times 0.02498 = 0.52 \pm 0.04896$

下限： $0.52 - 0.04896 = 0.47104$

上限： $0.52 + 0.04896 = 0.56896$

これをパーセントで表すと、47.1%から56.9%となります（小数点第1位で四捨五入）。

ステップ4：当確を判断する。

A氏が当選するためには、A氏の支持率が50%を超える必要があります。信頼区間の下限が47.1%であるため、真の母比率が50%を下回る可能性もあります。しかし、信頼区間全体が50%を中心にしており、上限は56.9%と高いので、A氏の当選の可能性は高いと考えられます。しかし、確実に当確を出すには、下限が50%を超えている必要があります。

3. 最終的な答え

95%信頼区間: 47.1% ~ 56.9%

当確判断: 当確とは言えない。A氏の支持率の95%信頼区間の下限が50%を下回っているため、A氏の真の支持率が50%を下回る可能性が否定できない。