$a$と$b$は整数で、$a$を5で割ると3余り、$b$を5で割ると4余る。以下の数を5で割ったときの余りをそれぞれ求める。 (1) $a+b$ (2) $2a+3b$ (3) $ab$ (4) $a^2+b^2$

1. 問題の内容

$a$と$b$は整数で、$a$を5で割ると3余り、$b$を5で割ると4余る。以下の数を5で割ったときの余りをそれぞれ求める。

(1) $a+b$

(2) $2a+3b$

(3) $ab$

(4) $a^2+b^2$

2. 解き方の手順

$a$を5で割ると3余り、$b$を5で割ると4余るので、ある整数$m, n$を用いて

$a = 5m + 3$

$b = 5n + 4$

と表せる。

(1) $a+b = (5m+3) + (5n+4) = 5m + 5n + 7 = 5(m+n+1) + 2$

よって、$a+b$を5で割った余りは2。

(2) $2a+3b = 2(5m+3) + 3(5n+4) = 10m + 6 + 15n + 12 = 10m + 15n + 18 = 5(2m+3n+3) + 3$

よって、$2a+3b$を5で割った余りは3。

(3) $ab = (5m+3)(5n+4) = 25mn + 20m + 15n + 12 = 5(5mn + 4m + 3n + 2) + 2$

よって、$ab$を5で割った余りは2。

(4) $a^2+b^2 = (5m+3)^2 + (5n+4)^2 = (25m^2+30m+9) + (25n^2+40n+16) = 25m^2+30m+25n^2+40n+25 = 5(5m^2+6m+5n^2+8n+5)$

$a^2+b^2 = 25m^2+30m+9 + 25n^2+40n+16 = 25m^2 + 30m + 25n^2 + 40n + 25 = 5(5m^2+6m+5n^2+8n+5) + 0$

よって、$a^2+b^2$を5で割った余りは0。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) 2

(4) 0