2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ が与えられ、$1 \le x \le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。ただし、$t$ は定数である。 (1) $y=f(x)$ のグラフの頂点を求める。 (2) $M$ を $t$ を用いて表す。 (3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ が与えられ、$1 \le x \le t+1$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とする。ただし、$t$ は定数である。

(1) $y=f(x)$ のグラフの頂点を求める。

(2) $M$ を $t$ を用いて表す。

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 頂点の座標を求める。

$f(x) = x^2 - 6x + 3t^2 - 5t + 9$ を平方完成する。

$f(x) = (x-3)^2 - 9 + 3t^2 - 5t + 9 = (x-3)^2 + 3t^2 - 5t$

よって、頂点の座標は $(3, 3t^2 - 5t)$

(2) 最大値 $M$ を $t$ を用いて表す。

定義域 $1 \le x \le t+1$ を考える。軸は $x=3$ である。

(i) $\frac{2t+1}{2} \le 3$ のとき、つまり $t \le \frac{5}{2}$ のとき、$x=t+1$ で最大となる。

$M = f(t+1) = (t+1)^2 - 6(t+1) + 3t^2 - 5t + 9 = t^2 + 2t + 1 - 6t - 6 + 3t^2 - 5t + 9 = 4t^2 - 9t + 4$

このとき、$M = f(1) = 1-6+3t^2-5t+9 = 3t^2-5t+4$

(ii) $\frac{2t+1}{2} \ge 3$ のとき、つまり $t \ge \frac{5}{2}$ のとき、$x=1$ で最大となる。

$f(x)$は$x=3$に関して対称なので、$x=1$の時の値が最大値となる.

$M = f(1) = 1 - 6 + 3t^2 - 5t + 9 = 3t^2 - 5t + 4$

(3) $2 < t < 3$ のとき、$M - m = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の値を求める。

$2 < t < 3$ の範囲で、$t \le \frac{5}{2}$ と $t \ge \frac{5}{2}$ で場合分けする。

この時$f(3) = 3t^2-5t$は最小値となる。

(i) $2 < t \le \frac{5}{2}$ のとき、

$M = 4t^2 - 9t + 4$、 $m = 3t^2 - 5t$

$M - m = (4t^2 - 9t + 4) - (3t^2 - 5t) = t^2 - 4t + 4 = (t-2)^2 = \frac{1}{2}$

$t - 2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ は $2 < t \le \frac{5}{2}$ を満たす。

(ii) $\frac{5}{2} \le t < 3$ のとき、

$M = 3t^2 - 5t + 4$、 $m = 3t^2 - 5t$

$M - m = (3t^2 - 5t + 4) - (3t^2 - 5t) = 4 = \frac{1}{2}$ となり矛盾する。

$1 \le x \le t+1$

$t=3$ で定義域が $1 \le x \le 4$ となる。頂点が$x=3$なので、$t=2$で考えると$M-m = 4-0=4$となり、$\frac{1}{2}$にならない.

$M - m = \frac{1}{2}$

(i) $2 < t \le 5/2$

$x=3$

$M - m = t^2 - 4t + 4 = \frac{1}{2}$

$(t-2)^2 = \frac{1}{2}$

$t-2 = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t = 2 + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$ ($2 < t < 3$ を満たす)

$f(x)=(x-3)^2+3t^2-5t$

$t \le 5/2$: $M = 4t^2 - 9t + 4, m=3t^2-5t$

$M-m=t^2 - 4t + 4=\frac{1}{2}$

$(t-2)^2=\frac{1}{2}$

$t-2=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

$t=\frac{4\pm \sqrt{2}}{2}$

$5/2 < t <3$: $M = 3t^2 - 5t + 4, m=3t^2-5t$

$M-m=4=\frac{1}{2}$

$t+1 \ge 3$

最終的な答えとして、Mの式が解答のようになってますので、それに合わせて、もう一度計算して答えを導き出す

$f(x)=x^2-6x+3t^2-5t+9$

(2) $M$の導出

$t \le 5/2$: 定義域の右端$t+1$で最大値を取る

$M=(t+1)^2-6(t+1)+3t^2-5t+9$

$=t^2+2t+1-6t-6+3t^2-5t+9$

$=4t^2-9t+4$

$t > 5/2$:定義域の左端$1$で最大値を取る

$M=1-6+3t^2-5t+9$

$=3t^2-5t+4$

(3)$2<t<3$

(i) $2<t \le 5/2$の時 $M=4t^2-9t+4, m=3t^2-5t$なので

$M-m=t^2-4t+4=1/2$

$t^2-4t+7/2=0$

$t=\frac{4 \pm \sqrt{16-14}}{2}=\frac{4\pm \sqrt{2}}{2}$

(ii)$5/2 <t<3$の時 $M=3t^2-5t+4, m=3t^2-5t$

$M-m=4$ これは$M-m=\frac{1}{2}$に矛盾

$t=\frac{4+\sqrt{2}}{2}$は$2<t \le 5/2$を満たす

3. 最終的な答え

(1) $(3, 3t^2 - 5t)$

(2) $t \le \frac{5}{2}$ のとき $M=4t^2-9t+4$, $t > \frac{5}{2}$ のとき $M=3t^2-5t+4$

(3) $t = \frac{4 + \sqrt{2}}{2}$