3次方程式 $x^3 - 3x^2 + (a-4)x + a = 0$ が2重解を持つとき、定数 $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 + (a-4)x + a = 0$ が2重解を持つとき、定数 $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - 3x^2 + (a-4)x + a$ とおく。

$f(x) = 0$ が2重解を持つとき、$f(x)$ は $(x - \alpha)^2(x - \beta)$ の形に因数分解できる。（ただし、$\alpha$ は重解、$\beta$ は別の解）

ここで、$x = -1$ を代入してみると、

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + (a-4)(-1) + a = -1 - 3 -a + 4 + a = 0$

となる。したがって、$f(x)$ は $(x+1)$ を因数に持つ。

$f(x)$ を $(x+1)$ で割ると、

$x^3 - 3x^2 + (a-4)x + a = (x+1)(x^2 - 4x + a)$

となる。

$f(x) = 0$ が2重解を持つためには、次の2つの場合が考えられる。

(i) $x^2 - 4x + a = 0$ が $x = -1$ を解に持つ場合

このとき、 $(-1)^2 - 4(-1) + a = 0$ より、$1 + 4 + a = 0$ となり、$a = -5$。

このとき、$x^2 - 4x - 5 = (x+1)(x-5) = 0$ となり、解は $x = -1, 5$。

したがって、$f(x) = (x+1)^2(x-5)$ となり、2重解 $x=-1$ と別の解 $x=5$ を持つ。

(ii) $x^2 - 4x + a = 0$ が重解を持つ場合

このとき、判別式 $D = (-4)^2 - 4(1)(a) = 16 - 4a = 0$ より、$a = 4$。

このとき、$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ となり、解は $x = 2$。

したがって、$f(x) = (x+1)(x-2)^2$ となり、2重解 $x=2$ と別の解 $x=-1$ を持つ。

3. 最終的な答え

$a = -5, 4$