画像に記載された3つの数列の和を求める問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(2k+1)$ (2) $\sum_{k=1}^{n} 2(-3)^{k-1}$ (3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

1. 問題の内容

画像に記載された3つの数列の和を求める問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} (k+1)(2k+1)$

(2) $\sum_{k=1}^{n} 2(-3)^{k-1}$

(3) $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

2. 解き方の手順

(1)

まず、一般項を展開します。

$(k+1)(2k+1) = 2k^2 + 3k + 1$

$\sum_{k=1}^{n} (2k^2 + 3k + 1) = 2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

したがって、

$2 \sum_{k=1}^{n} k^2 + 3 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 = 2 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 3 \frac{n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3} + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) + 9n(n+1) + 6n}{6}$

$= \frac{n[2(n+1)(2n+1) + 9(n+1) + 6]}{6}$

$= \frac{n[2(2n^2+3n+1) + 9n+9 + 6]}{6}$

$= \frac{n[4n^2+6n+2 + 9n+15]}{6}$

$= \frac{n(4n^2+15n+17)}{6}$

(2)

これは等比数列の和です。

初項 $a = 2$、公比 $r = -3$

$\sum_{k=1}^{n} 2(-3)^{k-1} = \frac{2(1 - (-3)^n)}{1 - (-3)} = \frac{2(1 - (-3)^n)}{4} = \frac{1 - (-3)^n}{2}$

(3)

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$とおくと、

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$k = -\frac{1}{2}$ のとき $1 = 2A$, $A = \frac{1}{2}$

$k = -\frac{3}{2}$ のとき $1 = -2B$, $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)$

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3} \right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3} \right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n+3 - 3}{3(2n+3)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{2n}{3(2n+3)} \right) = \frac{n}{3(2n+3)} = \frac{n}{6n+9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n(4n^2+15n+17)}{6}$

ア=4, イウ=15, エオ=17, カ=6

(2) $\frac{1 - (-3)^n}{2}$

キ=1, クケ=-3, コ=2

(3) $\frac{n}{6n+9}$

サ=3, シ=6, ス=9