問題は3つのパートに分かれています。 (1) ベクトルの問題：$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$ で、$\vec{a}-\vec{b}$ と $2\vec{a}+5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求め、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めます。 (2) 直線の問題：2直線 $l_1: 2x-ay+1=0$ と $l_2: 4x+(a-2)y-1=0$ が平行になるときの $a$ の値を求めます。 (3) 図形の問題：$(k+1)x^2+(k+1)y^2-4x-4y-k+3=0$ が表す図形を $C(k)$ とするとき、以下の問題を解きます。 (1) $C(k)$ が直線を表すとき、その方程式を求めます。 (2) $C(k)$ は $k$ の値によらず2定点を通ります。その2定点の座標を求め、これらの2点と原点を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

(1) ベクトルの問題：$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=1$ で、$\vec{a}-\vec{b}$ と $2\vec{a}+5\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値を求め、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めます。

(2) 直線の問題：2直線 $l_1: 2x-ay+1=0$ と $l_2: 4x+(a-2)y-1=0$ が平行になるときの $a$ の値を求めます。

(3) 図形の問題：$(k+1)x^2+(k+1)y^2-4x-4y-k+3=0$ が表す図形を $C(k)$ とするとき、以下の問題を解きます。

(1) $C(k)$ が直線を表すとき、その方程式を求めます。

(2) $C(k)$ は $k$ の値によらず2定点を通ります。その2定点の座標を求め、これらの2点と原点を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) ベクトルの問題：

$\vec{a}-\vec{b}$ と $2\vec{a}+5\vec{b}$ が垂直であるとき、内積は0なので、

$(\vec{a}-\vec{b})\cdot(2\vec{a}+5\vec{b})=0$

$2\vec{a}\cdot\vec{a} + 5\vec{a}\cdot\vec{b} - 2\vec{a}\cdot\vec{b} - 5\vec{b}\cdot\vec{b} = 0$

$2|\vec{a}|^2 + 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 5|\vec{b}|^2 = 0$

$2(2^2) + 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 5(1^2) = 0$

$8 + 3\vec{a}\cdot\vec{b} - 5 = 0$

$3\vec{a}\cdot\vec{b} = -3$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = -1$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ より、

$-1 = 2\cdot1\cdot\cos\theta$

$\cos\theta = -\frac{1}{2}$

$\theta = 120^\circ$

(2) 直線の問題：

2直線 $l_1: 2x-ay+1=0$ と $l_2: 4x+(a-2)y-1=0$ が平行であるとき、

$\frac{2}{4} = \frac{-a}{a-2} \neq \frac{1}{-1}$

$\frac{1}{2} = \frac{-a}{a-2}$

$a-2 = -2a$

$3a = 2$

$a = \frac{2}{3}$

(3) 図形の問題：

$(k+1)x^2+(k+1)y^2-4x-4y-k+3=0$

$(k+1)(x^2+y^2) - 4(x+y) - k + 3 = 0$

$k(x^2+y^2-1) + x^2+y^2 - 4x - 4y + 3 = 0$

(1) $C(k)$ が直線を表すとき、$k+1 = 0$ より $k=-1$

$-4x - 4y - (-1) + 3 = 0$

$-4x - 4y + 4 = 0$

$x + y - 1 = 0$

(2) $C(k)$ は $k$ の値によらず、$x^2+y^2-1=0$ かつ $x^2+y^2-4x-4y+3=0$ を満たす。

$x^2+y^2=1$ を $x^2+y^2-4x-4y+3=0$ に代入すると、

$1-4x-4y+3=0$

$4x+4y=4$

$x+y=1$

$y = 1-x$

$x^2 + (1-x)^2 = 1$

$x^2 + 1 - 2x + x^2 = 1$

$2x^2 - 2x = 0$

$2x(x-1) = 0$

$x=0$ または $x=1$

$x=0$ のとき $y=1$

$x=1$ のとき $y=0$

よって、2定点は $(0,1), (1,0)$. ただし $0 < 1$ とする。

$(0,1)$ と $(1,0)$ と原点を通る円の方程式を $x^2+y^2+ax+by=0$ とおく。

$(0,1)$ を通るので、 $0^2+1^2+a(0)+b(1)=0$ よって $b=-1$.

$(1,0)$ を通るので、 $1^2+0^2+a(1)+b(0)=0$ よって $a=-1$.

したがって、円の方程式は $x^2+y^2-x-y=0$.

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a}\cdot\vec{b} = -1$

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角は $120^\circ$

(2) $a = \frac{2}{3}$

(3) (1) $x+y-1=0$

(2) $(0,1), (1,0)$

$x^2+y^2-x-y=0$