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$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき、$-\frac{8}{13} \left( \tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} \right)$ の値を求めよ。

代数学三角関数恒等式計算
2025/8/7

1. 問題の内容

sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} のとき、−813(tan⁡3θ+1tan⁡3θ)-\frac{8}{13} \left( \tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} \right) の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} の両辺を2乗する。
(sin⁡θ+cos⁡θ)2=(15)2(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right)^2
sin⁡2θ+2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=15\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{5}
1+2sin⁡θcos⁡θ=151 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{5}
2sin⁡θcos⁡θ=15−1=−452 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{5} - 1 = -\frac{4}{5}
sin⁡θcos⁡θ=−25\sin \theta \cos \theta = -\frac{2}{5}
(2) sin⁡θ−cos⁡θ\sin \theta - \cos \theta の値を求める。
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=1−2sin⁡θcos⁡θ(\sin \theta - \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta
=1−2(−25)=1+45=95= 1 - 2 \left( -\frac{2}{5} \right) = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5}
sin⁡θ−cos⁡θ=±35\sin \theta - \cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{5}}
(3) sin⁡θ\sin \theta と cos⁡θ\cos \theta を求める。
sin⁡θ+cos⁡θ=15\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} と sin⁡θ−cos⁡θ=±35\sin \theta - \cos \theta = \pm \frac{3}{\sqrt{5}} を連立して解く。
(i) sin⁡θ−cos⁡θ=35\sin \theta - \cos \theta = \frac{3}{\sqrt{5}} のとき
2sin⁡θ=15+35=452 \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}
sin⁡θ=25\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}
cos⁡θ=15−25=−15\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=2/5−1/5=−2\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{2/\sqrt{5}}{-1/\sqrt{5}} = -2
(ii) sin⁡θ−cos⁡θ=−35\sin \theta - \cos \theta = -\frac{3}{\sqrt{5}} のとき
2sin⁡θ=15−35=−252 \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{3}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}
sin⁡θ=−15\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}
cos⁡θ=15−(−15)=25\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}} - \left( -\frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{2}{\sqrt{5}}
tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=−1/52/5=−12\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = -\frac{1}{2}
(4) tan⁡3θ+1tan⁡3θ\tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} を求める。
(i) tan⁡θ=−2\tan \theta = -2 のとき
tan⁡3θ+1tan⁡3θ=(−2)3+1(−2)3=−8−18=−658\tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} = (-2)^3 + \frac{1}{(-2)^3} = -8 - \frac{1}{8} = -\frac{65}{8}
(ii) tan⁡θ=−12\tan \theta = -\frac{1}{2} のとき
tan⁡3θ+1tan⁡3θ=(−12)3+1(−12)3=−18−8=−658\tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 + \frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3} = -\frac{1}{8} - 8 = -\frac{65}{8}
どちらの場合も tan⁡3θ+1tan⁡3θ=−658\tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} = -\frac{65}{8} である。
(5) −813(tan⁡3θ+1tan⁡3θ)-\frac{8}{13} \left( \tan^3 \theta + \frac{1}{\tan^3 \theta} \right) を計算する。
−813(−658)=813⋅658=6513=5-\frac{8}{13} \left( -\frac{65}{8} \right) = \frac{8}{13} \cdot \frac{65}{8} = \frac{65}{13} = 5

3. 最終的な答え

5

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