与えられた対数の式 $\log_2{6} \cdot \log_3{6} - \log_2{3} - \log_3{2}$ を計算し、その値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた対数の式 $\log_2{6} \cdot \log_3{6} - \log_2{3} - \log_3{2}$ を計算し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\log_2{6}$ と $\log_3{6}$ をそれぞれ $\log_2{(2 \cdot 3)}$ と $\log_3{(2 \cdot 3)}$ と変形します。

$\log_2{6} = \log_2{(2 \cdot 3)} = \log_2{2} + \log_2{3} = 1 + \log_2{3}$

$\log_3{6} = \log_3{(2 \cdot 3)} = \log_3{2} + \log_3{3} = \log_3{2} + 1$

したがって、与えられた式は

$(1 + \log_2{3})(\log_3{2} + 1) - \log_2{3} - \log_3{2}$

$= 1 \cdot \log_3{2} + 1 \cdot 1 + \log_2{3} \cdot \log_3{2} + \log_2{3} \cdot 1 - \log_2{3} - \log_3{2}$

$= \log_3{2} + 1 + \log_2{3} \cdot \log_3{2} + \log_2{3} - \log_2{3} - \log_3{2}$

$= 1 + \log_2{3} \cdot \log_3{2}$

ここで、対数の底の変換公式 $\log_a{b} = \frac{\log_c{b}}{\log_c{a}}$ を用いると、$\log_2{3} \cdot \log_3{2} = \log_2{3} \cdot \frac{\log_2{2}}{\log_2{3}} = \log_2{3} \cdot \frac{1}{\log_2{3}} = 1$ となります。

したがって、

$1 + \log_2{3} \cdot \log_3{2} = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

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