実数 $a$, $b$ に関する条件 $p$ と $q$ が以下のように定義されている。 $p: (a+b)^2 + (a-2b)^2 < 5$ $q: |a+b| < 1$ または $|a-2b| < 2$ (1) 命題「$q \implies p$」に対する反例となっているものを選択する。 (2) 命題「$p \implies q$」の対偶を選択する。 (3) $p$ は $q$ であるための何条件かを選択する。

1. 問題の内容

実数 $a$, $b$ に関する条件 $p$ と $q$ が以下のように定義されている。

$p: (a+b)^2 + (a-2b)^2 < 5$

$q: |a+b| < 1$ または $|a-2b| < 2$

(1) 命題「$q \implies p$」に対する反例となっているものを選択する。

(2) 命題「$p \implies q$」の対偶を選択する。

(3) $p$ は $q$ であるための何条件かを選択する。

2. 解き方の手順

(1) $q \implies p$ の反例は、$q$ が真で $p$ が偽であるような $(a, b)$ の組である。

- $(a, b) = (0, 0)$ のとき、$|0+0| = 0 < 1$ かつ $|0-2(0)| = 0 < 2$ より $q$ は真。また、$(0+0)^2 + (0-2(0))^2 = 0 < 5$ より $p$ は真。

- $(a, b) = (1, 0)$ のとき、$|1+0| = 1 \nless 1$ かつ $|1-2(0)| = 1 < 2$ より $q$ は真。また、$(1+0)^2 + (1-2(0))^2 = 1 + 1 = 2 < 5$ より $p$ は真。

- $(a, b) = (0, 1)$ のとき、$|0+1| = 1 \nless 1$ かつ $|0-2(1)| = 2 \nless 2$ より $q$ は偽。

- $(a, b) = (1, 1)$ のとき、$|1+1| = 2 \nless 1$ かつ $|1-2(1)| = |-1| = 1 < 2$ より $q$ は真。また、$(1+1)^2 + (1-2(1))^2 = 4 + 1 = 5 \nless 5$ より $p$ は偽。

したがって、$(a, b) = (1, 1)$ は $q \implies p$ の反例である。

(2) 命題 $p \implies q$ の対偶は $\neg q \implies \neg p$ である。

$\neg q$ は「$|a+b| \geq 1$ かつ $|a-2b| \geq 2$」である。

$\neg p$ は「$(a+b)^2 + (a-2b)^2 \geq 5$」である。

したがって、対偶は「$|a+b| \geq 1$ かつ $|a-2b| \geq 2 \implies (a+b)^2 + (a-2b)^2 \geq 5$」である。

(3) $p: (a+b)^2 + (a-2b)^2 < 5$

$q: |a+b| < 1$ または $|a-2b| < 2$

$p \implies q$ が成り立つか確認する。

$(a+b)^2 + (a-2b)^2 < 5$ を展開すると、$a^2+2ab+b^2 + a^2-4ab+4b^2 < 5$ より、$2a^2-2ab+5b^2 < 5$ となる。

$|a+b| < 1$ かつ $|a-2b| < 2$ ならば、$p$ が成り立つ。

例えば、$(a,b)=(0,0)$のとき、$p$は成り立つ。

$a=2, b=0$のとき、$|a+b|=2>1$かつ、$|a-2b|=2$なので、$q$は成り立たない。一方、$p$は$(2)^2+(2)^2=8>5$となり、成り立たない。

$q \implies p$ は成り立たない場合がある。 例えば、$a=1, b=1$とすると$q$は成り立つ($|a-2b|=1<2$)が、$p$は$(1+1)^2+(1-2)^2=4+1=5$より成り立たない。

$q$が成り立つからといって、$p$が必ず成り立つわけではないので、必要条件ではない。

$p$が成り立つからといって、$q$が必ず成り立つわけではないので、十分条件ではない。

したがって、$p$は$q$であるための必要条件でも十分条件でもない。

3. 最終的な答え

チ: 3

ツ: 4

テ: 7

ト: 3