1から5の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計10枚ある。 (1) この10枚のカードの中から3枚を使って作られる3桁の整数で、6の倍数は何通りあるか。 (2) この10枚のカードの中から4枚を使って作られる4桁の整数は何通りあるか。 (3) (2)で作られる4桁の整数を小さい順に並べるとき、数「2431」は初めから数えて何番目の数か。
2025/8/7
## 1-1【発展】
1. **問題の内容**
1から5の数字が書かれたカードがそれぞれ2枚ずつ、合計10枚ある。
(1) この10枚のカードの中から3枚を使って作られる3桁の整数で、6の倍数は何通りあるか。
(2) この10枚のカードの中から4枚を使って作られる4桁の整数は何通りあるか。
(3) (2)で作られる4桁の整数を小さい順に並べるとき、数「2431」は初めから数えて何番目の数か。
2. **解き方の手順**
**(1) 3桁の6の倍数の個数**
3桁の整数が6の倍数であるためには、一の位が偶数（2または4）であり、かつ各位の数字の和が3の倍数である必要がある。
* **一の位が2の場合**
百の位と十の位の組み合わせで和が3の倍数になる場合を考える。
* 百の位と十の位の和が1のとき: (1,0)
* 百の位と十の位の和が4のとき: (1,3), (3,1), (2,2)
* 百の位と十の位の和が7のとき: (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)
* 百の位と十の位の和が10のとき: (5,5)
それぞれの組み合わせで重複を考慮する必要がある。(1,0)は存在しないので無視する。
(1,3), (3,1)はそれぞれ2x2=4通り、(2,2)は1通り、(2,5), (5,2), (3,4), (4,3)はそれぞれ2x2=4通り、(5,5)は1通り。
合計: 4+4+1+4+4+4+4+1 = 26通り
* **一の位が4の場合**
同様に百の位と十の位の組み合わせで和が3の倍数になる場合を考える。
* 百の位と十の位の和が2のとき: (1,1)
* 百の位と十の位の和が5のとき: (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)
* 百の位と十の位の和が8のとき: (3,5), (5,3), (4,4)
(1,1)は1通り、(1,4), (4,1), (2,3), (3,2)はそれぞれ2x2=4通り、(3,5), (5,3)はそれぞれ2x2=4通り、(4,4)は1通り
合計: 1+4+4+4+4+4+1=22通り
合計 26+22=48通り
**(2) 4桁の整数の個数**
10枚のカードから4枚を選ぶ組み合わせを考え、それを並べる順列を考える。ただし、同じ数字が複数あるので、重複を考慮する。
* **4つの数字が全て異なる場合:** 5C4 * 4! = 5 * 24 = 120通り
* **同じ数字が2つ含まれる場合:** 5C1 * 4C2 * 4!/2! = 5 * 6 * 12 = 360通り
* **同じ数字が2つずつ含まれる場合:** 5C2 * 4!/(2! * 2!) = 10 * 6 = 60通り
* **同じ数字が3つ含まれることはない。** なぜなら、最大で同じ数字は2つまでしか存在しないから。
* **同じ数字が4つ含まれることはない。** なぜなら、最大で同じ数字は2つまでしか存在しないから。
* **同じ数字が3つ含まれることはない。** なぜなら、最大で同じ数字は2つまでしか存在しないから。
* **同じ数字が3つ含まれることはない。** なぜなら、最大で同じ数字は2つまでしか存在しないから。
* **同じ数字が3つ含まれることはない。** なぜなら、最大で同じ数字は2つまでしか存在しないから。
120 + 360 + 60 = 540通り
**(3) 2431は何番目か**
4桁の整数を小さい順に並べることを考える。
1000番台: 1から始まる整数。残り3桁の数字を選ぶ組み合わせを考える。
* 1から始まる場合。 残り3桁の組み合わせを計算する
2000番台: 2から始まる整数。
21XX: 21から始まる整数。
23XX: 23から始まる整数。
24XX: 24から始まる整数。241Xと243X
2413, 2415
2431
まず1000番台の数を数える。
1から始まる数は、残りの３つの数の組み合わせを考慮する。
* 全て異なる数字の場合： 4C3 * 3! = 4 * 6 = 24
* 同じ数字が2つの場合： 3C1 * 3!/2! = 3 * 3 = 9
24 + 9 = 33
1000番台の数字の数は33個
次に2000番台の数を数える。
2から始まる数は、残りの３つの数の組み合わせを考慮する。
* 全て異なる数字の場合： 4C3 * 3! = 4 * 6 = 24
* 同じ数字が2つの場合： 3C1 * 3!/2! = 3 * 3 = 9
24 + 9 = 33
2000番台の数字の数は33個
21XXという数字の組み合わせを数える。
* 全て異なる数字の場合： 3C2 * 2! = 3 * 2 = 6
* 同じ数字が2つの場合： 2C1 * 2!/2! = 2 * 1 = 2
6 + 2 = 8
2100番台の数字の数は8個
次に23XXの組み合わせ
* 231X = 2314, 2315,
* 234X = 2341, 2345,
* 235X = 2351, 2354,
6個の数字
2413, 2415
2431
33 + 33 + 8 + 6 + 1 = 81
3. **最終的な答え**
**(1) 6の倍数：48通り**
**(2) 4桁の整数：540通り**
**(3) 2431：81番目**