放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = mx$ について、以下の問いに答えます。 (1) 放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるための $m$ の範囲を求めます。 (2) 線分PQの中点Mの座標を $m$ で表します。 (3) $m$ が(1)で求めた範囲を動くとき、点Mの軌跡を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2x + 1$ と直線 $y = mx$ について、以下の問いに答えます。

(1) 放物線と直線が異なる2点P, Qで交わるための $m$ の範囲を求めます。

(2) 線分PQの中点Mの座標を $m$ で表します。

(3) $m$ が(1)で求めた範囲を動くとき、点Mの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線と直線が異なる2点で交わる条件を求めます。

$x^2 - 2x + 1 = mx$

$x^2 - (2+m)x + 1 = 0$

この2次方程式が異なる2つの実数解を持つための条件は、判別式 $D > 0$ であることです。

$D = (2+m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 + 4m + 4 - 4 = m^2 + 4m > 0$

$m(m+4) > 0$

したがって、$m < -4$ または $m > 0$ です。

(2) 交点P, Qの $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とすると、これらは $x^2 - (2+m)x + 1 = 0$ の解です。

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = 2 + m$ です。

中点Mの $x$ 座標は $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{2+m}{2}$ です。

中点Mの $y$ 座標は $m \cdot \frac{\alpha + \beta}{2} = m \cdot \frac{2+m}{2} = \frac{m(2+m)}{2}$ です。

したがって、中点Mの座標は $(\frac{2+m}{2}, \frac{m(2+m)}{2})$ です。

(3) 中点Mの座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{2+m}{2}$ より $m = 2x - 2$ です。

$y = \frac{m(2+m)}{2} = \frac{(2x-2)(2 + 2x - 2)}{2} = \frac{(2x-2)(2x)}{2} = 2x(x-1) = 2x^2 - 2x$

$y = 2x^2 - 2x$

$m < -4$ より $2x - 2 < -4$, $2x < -2$, $x < -1$

$m > 0$ より $2x - 2 > 0$, $2x > 2$, $x > 1$

したがって、点Mの軌跡は $y = 2x^2 - 2x$ ($x < -1$ または $x > 1$) です。

3. 最終的な答え

(1) $m < -4$ または $m > 0$

(2) $(\frac{2+m}{2}, \frac{m(2+m)}{2})$

(3) $y = 2x^2 - 2x$ ($x < -1$ または $x > 1$)