関数 $y = ax^2$ ($a \neq 0$) について、与えられた定義域と値域から定数 $a$ の値を求めます。 (1) 定義域: $-1 \leq x \leq 2$, 値域: $0 \leq y \leq 2$ (2) 定義域: $-3 \leq x \leq 4$, 値域: $-12 \leq y \leq 0$ (3) 定義域: $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$, 値域: $0 \leq y \leq 6$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

関数 $y = ax^2$ ($a \neq 0$) について、与えられた定義域と値域から定数 $a$ の値を求めます。

(1) 定義域: $-1 \leq x \leq 2$, 値域: $0 \leq y \leq 2$

(2) 定義域: $-3 \leq x \leq 4$, 値域: $-12 \leq y \leq 0$

(3) 定義域: $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$, 値域: $0 \leq y \leq 6$

2. 解き方の手順

(1)

定義域が $-1 \leq x \leq 2$ で、値域が $0 \leq y \leq 2$ であることから、放物線の頂点が定義域内にあるため、$a > 0$ であることがわかります。

$x=2$ のときに$y=2$をとるので

$2 = a \times 2^2 = 4a$

よって

$a = \frac{1}{2}$

(2)

定義域が $-3 \leq x \leq 4$ で、値域が $-12 \leq y \leq 0$ であることから、$a < 0$ であることがわかります。

$x=4$ のときに$y=-12$をとるので

$-12 = a \times 4^2 = 16a$

よって

$a = -\frac{3}{4}$

(3)

定義域が $-\sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{3}$ で、値域が $0 \leq y \leq 6$ であることから、放物線の頂点が定義域内にあるため、$a > 0$ であることがわかります。

また、この定義域では$x=-\sqrt{2}$のときに$y=a(-\sqrt{2})^2=2a$, $x=\sqrt{3}$のときに$y=a(\sqrt{3})^2=3a$となり、いずれかが最大値$6$になる。$3a=6$を満たす$a$は$a=2$, $2a=6$を満たす$a$は$a=3$。$a=2$のとき$3a=3 \times 2 = 6$, $a=3$のとき$2a=2 \times 3 = 6$なので、$x=\sqrt{3}$のときに$y=6$となる$a=2$が条件を満たす。

3. 最終的な答え

(1) $a = \frac{1}{2}$

(2) $a = -\frac{3}{4}$

(3) $a = 2$