$x = 2 + \sqrt{5}$、 $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{5}$、 $y = 2 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - xy + y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2$、$xy$、$y^2$ をそれぞれ計算します。

$x^2 = (2 + \sqrt{5})^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 + 4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}$

$xy = (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) = 2^2 - (\sqrt{5})^2 = 4 - 5 = -1$

$y^2 = (2 - \sqrt{5})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 4 - 4\sqrt{5} + 5 = 9 - 4\sqrt{5}$

次に、$x^2 - xy + y^2$ にそれぞれの値を代入します。

$x^2 - xy + y^2 = (9 + 4\sqrt{5}) - (-1) + (9 - 4\sqrt{5}) = 9 + 4\sqrt{5} + 1 + 9 - 4\sqrt{5} = 9 + 1 + 9 + 4\sqrt{5} - 4\sqrt{5} = 19$

3. 最終的な答え

19