$\sum_{k=1}^{3} 4k^2$ を $\Sigma$ を使わずに書き下す。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

**【1】次の和を記号Σを用いずに、各項の和の形に書き表せ。**

**(1) $\sum_{k=1}^{3} 4k^2$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{3} 4k^2$ を $\Sigma$ を使わずに書き下す。

2. 解き方の手順

$k$ に $1, 2, 3$ を代入して足し合わせます。

$4(1)^2 + 4(2)^2 + 4(3)^2$

3. 最終的な答え

$4 + 16 + 36$

**(2) $\sum_{k=1}^{4} (5k-3)$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{4} (5k-3)$ を $\Sigma$ を使わずに書き下す。

2. 解き方の手順

$k$ に $1, 2, 3, 4$ を代入して足し合わせます。

$(5(1)-3) + (5(2)-3) + (5(3)-3) + (5(4)-3)$

3. 最終的な答え

$(5-3) + (10-3) + (15-3) + (20-3)$

**(3) $\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}$ を $\Sigma$ を使わずに書き下す。

2. 解き方の手順

$k$ に $1, 2, 3, 4, 5, 6$ を代入して足し合わせます。

$2^{1-1} + 2^{2-1} + 2^{3-1} + 2^{4-1} + 2^{5-1} + 2^{6-1}$

3. 最終的な答え

$2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5$

**【2】次の和を記号Σを用いて表せ。**

**(1) $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$**

1. 問題の内容

$1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)$ を $\Sigma$ を用いて表現する。

2. 解き方の手順

この数列は初項が $1$, 公差が $2$ の等差数列です。一般項は $2k - 1$ と表せます。

$k$ を $1$ から $n$ まで変化させれば、与えられた和を表現できます。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$

**(2) $3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n$**

1. 問題の内容

$3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n$ を $\Sigma$ を用いて表現する。

2. 解き方の手順

この数列は初項が $3$, 公比が $3$ の等比数列です。一般項は $3^k$ と表せます。

$k$ を $1$ から $n$ まで変化させれば、与えられた和を表現できます。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} 3^k$

**(3) $1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + 9 \cdot 12$**

1. 問題の内容

$1 \cdot 4 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 6 + \dots + 9 \cdot 12$ を $\Sigma$ を用いて表現する。

2. 解き方の手順

各項は $k \cdot (k+3)$ と表せます。

$k$ は $1$ から $9$ まで変化します。

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{9} k(k+3)$

**【3】次の和を求めよ。**

**(1) $\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k-1}$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^{k-1}$ の和を求める。

2. 解き方の手順

これは初項 $3$, 公比 $2$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式を利用します。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$a=3$, $r=2$ なので、

$S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1}$

3. 最終的な答え

$3(2^n - 1)$

**(2) $\sum_{k=1}^{n} (-3)^k$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (-3)^k$ の和を求める。

2. 解き方の手順

これは初項 $-3$, 公比 $-3$ の等比数列の和です。等比数列の和の公式を利用します。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

ここで、$a=-3$, $r=-3$ なので、

$S_n = \frac{-3((-3)^n - 1)}{-3 - 1}$

$= \frac{-3((-3)^n - 1)}{-4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}((-3)^n - 1)$

**【4】次の和を求めよ。**

**(1) $\sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

$\Sigma$ を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (2k + 5) = 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 5$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 5 = 5n$

よって、

$2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + 5n$

3. 最終的な答え

$n(n+1) + 5n = n^2 + n + 5n = n^2 + 6n = n(n+6)$

**(2) $\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

$\Sigma$ を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 + k) = \sum_{k=1}^{n} k^2 + \sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

よって、

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{3n(n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+4)}{6} = \frac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

**(3) $\sum_{k=1}^{n} (4k+1)(k-1)$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (4k+1)(k-1)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

展開します。

$(4k+1)(k-1) = 4k^2 - 4k + k - 1 = 4k^2 - 3k - 1$

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 3k - 1) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 3\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$

よって、

$4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 3\cdot \frac{n(n+1)}{2} - n$

3. 最終的な答え

$\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - \frac{3n(n+1)}{2} - n = \frac{4n(n+1)(2n+1) - 9n(n+1) - 6n}{6} = \frac{n(4(n+1)(2n+1) - 9(n+1) - 6)}{6} = \frac{n(4(2n^2+3n+1) - 9n - 9 - 6)}{6} = \frac{n(8n^2+12n+4 - 9n - 15)}{6} = \frac{n(8n^2+3n-11)}{6}$

**(4) $\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k)$**

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k)$ の和を求める。

2. 解き方の手順

$\Sigma$ を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^3 + 3k) = \sum_{k=1}^{n} k^3 + 3\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

よって、

$\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + 3\cdot \frac{n(n+1)}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{6n(n+1)}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1) + 6n^2+6n}{4} = \frac{n^4+2n^3+n^2+6n^2+6n}{4} = \frac{n^4+2n^3+7n^2+6n}{4} = \frac{n(n^3+2n^2+7n+6)}{4} = \frac{n(n+1)(n^2+n+6)}{4}$

問題の解答は以上です。