(1) 不等式 $ax - 2 \le 6x + 1$ の解が $x \le 3$ であるとき、$a$ の値を求める。 (2) 不等式 $6x - 4 \ge 2a + 3$ を満たす最小の整数解 $x$ が $1$ のとき、整数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $ax - 2 \le 6x + 1$ の解が $x \le 3$ であるとき、$a$ の値を求める。

(2) 不等式 $6x - 4 \ge 2a + 3$ を満たす最小の整数解 $x$ が $1$ のとき、整数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式 $ax - 2 \le 6x + 1$ を変形する。

$ax - 6x \le 1 + 2$

$(a-6)x \le 3$

$a-6 > 0$ のとき、$x \le \frac{3}{a-6}$

$a-6 < 0$ のとき、$x \ge \frac{3}{a-6}$

$a-6 = 0$ のとき、$0 \le 3$ となり常に成り立つ

解が $x \le 3$ であるので、$a-6 > 0$ であり、$\frac{3}{a-6} = 3$ が成り立つ。

$3 = 3(a-6)$

$1 = a-6$

$a = 7$

$a=7$ は $a-6 > 0$ を満たす。

(2)

不等式 $6x - 4 \ge 2a + 3$ を変形する。

$6x \ge 2a + 7$

$x \ge \frac{2a+7}{6}$

最小の整数解 $x$ が $1$ であるとき、

$0 < \frac{2a+7}{6} \le 1$

$0 < 2a+7 \le 6$

$-7 < 2a \le -1$

$-\frac{7}{2} < a \le -\frac{1}{2}$

$-3.5 < a \le -0.5$

整数 $a$ は $-3, -2, -1$ となりうる。

$x \ge \frac{2a+7}{6}$

$x=1$ の時、$\frac{2a+7}{6} \le 1$でなければならない。

$6x - 4 \ge 2a + 3$に$x=1$を代入すると

$6-4 \ge 2a+3$

$2 \ge 2a+3$

$-1 \ge 2a$

$-\frac{1}{2} \ge a$

整数解が $x=1$ であるとき、$x=0$は不等式を満たさない。

$x=0$を代入すると、

$6(0)-4 \ge 2a+3$

$-4 \ge 2a+3$

$-7 \ge 2a$

$a \le -\frac{7}{2} = -3.5$

したがって、$x=1$ が最小の整数解であるならば、$\frac{2a+7}{6} > 0$ かつ $x=0$ は不等式を満たさないので、$\frac{2a+7}{6} \le 1$が成り立ちます。

$0 < \frac{2a+7}{6} \le 1$を満たす整数 $a$ は存在しません。

しかし、問題文は最小の整数解が1であるとき、という事なので

$1 \ge \frac{2a+7}{6} > 0$

$6 \ge 2a+7 > 0$

$-1 \ge 2a > -7$

$-0.5 \ge a > -3.5$

したがって、整数$a$は-1, -2, -3 です。

$6x-4 \ge 2a+3$に$x=1$を代入すると

$2 \ge 2a+3$

$-1 \ge 2a$

$-0.5 \ge a$

$x=0$を代入すると

$-4 \ge 2a+3$

$-7 \ge 2a$

$-3.5 \ge a$

したがって、$x=1$ が最小の整数解であるならば、$\frac{2a+7}{6} > 0$ かつ $x=0$ は不等式を満たさないので、$\frac{2a+7}{6} \le 1$が成り立ちます。

$0 < \frac{2a+7}{6} \le 1$を満たす整数 $a$ は存在しません。

よって、$x=1$が最小の整数解であるとき、

$0 \le \frac{2a+7}{6} < 1$

$0 \le 2a+7 < 6$

$-7 \le 2a < -1$

$-\frac{7}{2} \le a < -\frac{1}{2}$

$-3.5 \le a < -0.5$

これより、$a = -3, -2, -1$ です。

この中で一番小さいのは-3です。しかし、$6x - 4 \ge 2a + 3$ に $a = -3$ を代入すると $6x - 4 \ge -6 + 3$ より $6x \ge 1$ となり、$x \ge \frac{1}{6}$ です。最小の整数解は1です。

3. 最終的な答え

(1) $a=7$

(2) $a=-1, -2, -3$

しかし選択肢には存在しないので、問題文の意図と違う可能性もあります。