二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられたときに、以下の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) $x$ 軸の正の部分において異なる 2 点で交わる。 (2) $x$ 軸の負の部分において異なる 2 点で交わる。 (3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる 2 点で交わる。 (4) $x$ 軸の $0 < x < 4$ の部分で異なる 2 点で交わる。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられたときに、以下の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる 2 点で交わる。

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる 2 点で交わる。

(3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる 2 点で交わる。

(4) $x$ 軸の $0 < x < 4$ の部分で異なる 2 点で交わる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3$ とおきます。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる 2 点で交わる条件:

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸の位置 $> 0$

3. $f(0) > 0$

判別式 $D/4 = a^2 - (-2a + 3) = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1) > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

軸の位置は $x = a > 0$。

$f(0) = -2a + 3 > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$。

したがって、$1 < a < \frac{3}{2}$。

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる 2 点で交わる条件:

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸の位置 $< 0$

3. $f(0) > 0$

判別式 $D/4 = a^2 - (-2a + 3) = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1) > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

軸の位置は $x = a < 0$。

$f(0) = -2a + 3 > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$。

したがって、$a < -3$。

(3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる 2 点で交わる条件:

1. 判別式 $D > 0$

2. 軸の位置 $< -2$

3. $f(-2) > 0$

判別式 $D/4 = a^2 - (-2a + 3) = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1) > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

軸の位置は $x = a < -2$。

$f(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) - 2a + 3 = 4 + 4a - 2a + 3 = 2a + 7 > 0$ より、$a > -\frac{7}{2}$。

したがって、$-\frac{7}{2} < a < -3$。

(4) $x$ 軸の $0 < x < 4$ の部分で異なる 2 点で交わる条件:

1. 判別式 $D > 0$

2. $0 <$ 軸の位置 $< 4$

3. $f(0) > 0$

4. $f(4) > 0$

判別式 $D/4 = a^2 - (-2a + 3) = a^2 + 2a - 3 = (a+3)(a-1) > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

軸の位置は $0 < a < 4$。

$f(0) = -2a + 3 > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$。

$f(4) = 4^2 - 2a(4) - 2a + 3 = 16 - 8a - 2a + 3 = 19 - 10a > 0$ より、$a < \frac{19}{10}$。

したがって、$1 < a < \frac{3}{2}$。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < \frac{3}{2}$

(2) $a < -3$

(3) $-\frac{7}{2} < a < -3$

(4) $1 < a < \frac{19}{10}$

より詳細には、$1 < a < \frac{3}{2}$