二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられています。以下の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる (2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる (3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる (4) $x$ 軸の $-4 < x < 4$ の部分と異なる2点で交わる (5) $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方で交わる (6) 1より大きい解と1より小さい解をもつ

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 - 2ax - 2a + 3 = 0$ が与えられています。以下の条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる

(3) $x$ 軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる

(4) $x$ 軸の $-4 < x < 4$ の部分と異なる2点で交わる

(5) $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方で交わる

(6) 1より大きい解と1より小さい解をもつ

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3$ と置きます。

(1) $x$軸の正の部分において異なる2点で交わる条件

- 判別式 $D > 0$

- 軸 $a > 0$

- $f(0) > 0$

$D = (-2a)^2 - 4(1)(-2a+3) = 4a^2 + 8a - 12 = 4(a^2 + 2a - 3) = 4(a+3)(a-1) > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

$a > 0$ より、$a > 1$。

$f(0) = -2a + 3 > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$。

よって、$1 < a < \frac{3}{2}$。

(2) $x$軸の負の部分において異なる2点で交わる条件

- 判別式 $D > 0$

- 軸 $a < 0$

- $f(0) > 0$

$D > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

$a < 0$ より、$a < -3$。

$f(0) = -2a + 3 > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$。

よって、$a < -3$。

(3) $x$軸の $x < -2$ の部分で異なる2点で交わる条件

- 判別式 $D > 0$

- 軸 $a < -2$

- $f(-2) > 0$

$D > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$。

$a < -2$ より、$a < -3$。

$f(-2) = (-2)^2 - 2a(-2) - 2a + 3 = 4 + 4a - 2a + 3 = 2a + 7 > 0$ より、$a > -\frac{7}{2} = -3.5$。

よって、$-\frac{7}{2} < a < -3$。

(4) $x$軸の $-4 < x < 4$ の部分と異なる2点で交わる

判別式 $D > 0$, $f(-4) > 0$, $f(4) > 0$, $-4 < a < 4$

$D > 0$より, $a < -3$ or $a > 1$.

$f(-4) = 16 + 8a - 2a + 3 = 6a + 19 > 0$より、$a > -19/6 = -3.16...$

$f(4) = 16 - 8a - 2a + 3 = -10a + 19 > 0$より、$a < 19/10 = 1.9$.

$-4 < a < 4$より, $-19/6 < a < -3$ or $1 < a < 19/10$

(5) $x$軸の正の部分と負の部分の両方で交わる条件

- $f(0) < 0$

$f(0) = -2a + 3 < 0$ より、$a > \frac{3}{2}$。

(6) 1より大きい解と1より小さい解をもつ条件

- $f(1) < 0$

$f(1) = 1 - 2a - 2a + 3 = -4a + 4 < 0$ より、$a > 1$。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < \frac{3}{2}$

(2) $a < -3$

(3) $-\frac{7}{2} < a < -3$

(4) $-\frac{19}{6} < a < -3$ または $1 < a < \frac{19}{10}$

(5) $a > \frac{3}{2}$

(6) $a > 1$