円に内接する四角形ABCDがあり、ADとBCの交点をE、ABとCDの交点をFとする。 $\angle EBC = \beta = 30^\circ$, $\angle BFA = \alpha = 60^\circ$ のとき、$\angle DAB = \gamma$ を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDがあり、ADとBCの交点をE、ABとCDの交点をFとする。

$\angle EBC = \beta = 30^\circ$, $\angle BFA = \alpha = 60^\circ$ のとき、$\angle DAB = \gamma$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\angle BCD$ を求めることを考える。

四角形ABCDが円に内接しているので、$\angle DAB + \angle BCD = 180^\circ$ が成り立つ。

つまり、$\angle BCD = 180^\circ - \gamma$ である。

次に、$\triangle FBC$ に着目すると、$\angle CFB + \angle FBC + \angle BCF = 180^\circ$ が成り立つ。

$\angle CFB = \alpha = 60^\circ$ であり、$\angle FBC = \angle EBC = \beta = 30^\circ$ なので、

$\angle BCF = 180^\circ - \alpha - \beta = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ$ となる。

$\angle BCD = 180^\circ - \gamma$ であり、$\angle BCF = 90^\circ$ であるから、

$\angle FCD = \angle BCD - \angle BCF = (180^\circ - \gamma) - 90^\circ = 90^\circ - \gamma$ となる。

次に、$\triangle ADF$に着目する。

$\angle FAD + \angle ADF + \angle DFA = 180^\circ$ である。

$\angle DFA = \alpha = 60^\circ$ である。

$\angle FAD = \angle DAB = \gamma$である。

$\angle ADF = \angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$である。

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$である。

$\angle ADE + \angle CDE = 180^\circ - \angle ABC$より、$\angle ADF + \angle EDE = 180^\circ - \angle ABC$である。

三角形EBCにおいて、$\angle BEC = 180^\circ - \angle EBC - \angle ECB = 180^\circ - 30^\circ - \angle ECB$

$= 150^\circ - \angle ECB$

三角形AEDにおいて、$\angle AED = 180^\circ - \angle EAD - \angle EDA = 180^\circ - \gamma - \angle EDA$

$= 180^\circ - \gamma - \angle EDA$

また、$\angle AED = \angle BEC$より、$150^\circ - \angle ECB = 180^\circ - \gamma - \angle EDA$

また、$\angle ADB = \angle ACB$であり、$\angle CAD = \angle CBD$である。

四角形ABCEを考える。$\angle BAE = \angle BAC + \gamma$

$\angle BCE = \angle BCD$

ここで、$\angle ABC = \angle ABE = \angle CBE + \angle CBA = \angle CBA + \beta$

四角形ABCDが円に内接するので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

三角形ADFの内角の和の式：$\angle DAF + \angle AFD + \angle FDA = \gamma + 60^\circ + \angle FDA = 180^\circ$

よって、$\angle FDA = 120^\circ - \gamma$

ここで、$\angle ADC = \angle ADF = \angle FDA$

したがって、$\angle ABC = 180^\circ - (120^\circ - \gamma) = 60^\circ + \gamma$

三角形BCFについて、$\angle FBC + \angle BCF + \angle CFB = 180^\circ$

$30^\circ + \angle BCF + 60^\circ = 180^\circ$

$\angle BCF = 90^\circ$

$\angle BCD = 180^\circ - \gamma$

$\angle DCF = \angle BCD - \angle BCF = (180^\circ - \gamma) - 90^\circ = 90^\circ - \gamma$

三角形ADFより、$\angle ADF + \angle FAD + \angle DFA = 180^\circ$

$\angle FDA + \gamma + 60^\circ = 180^\circ$

$\angle FDA = 120^\circ - \gamma$

$\angle ADC = 120^\circ - \gamma$

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$

$\angle ABC + (120^\circ - \gamma) = 180^\circ$

$\angle ABC = 60^\circ + \gamma$

ここで、$\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$ より、$\angle BCD = 180^\circ - \gamma$

点EはADとBCの交点なので、三角形ECDについて、$\angle EDC + \angle DEC + \angle ECD = 180^\circ$

$(120^\circ - \gamma) + \angle DEC + (180^\circ - \gamma - 90^\circ) = 180^\circ$

$\angle DEC = 180^\circ - 120^\circ + \gamma - 90^\circ + \gamma = -30^\circ + 2\gamma$

$\angle CEB = \angle AED = 180^\circ - (\angle EBC + \angle BAE)$

$\angle ADB = \angle ACB$である

$\triangle FAB$において、$\angle FAB = 180^\circ - 60^\circ - \angle ABF = 120^\circ - \angle ABF$

$\angle ABF = \angle ABC = 60^\circ + \gamma$より、$\angle FAB = 120^\circ - (60^\circ + \gamma) = 60^\circ - \gamma$

$\angle FAB = 60^\circ - \gamma$

$\gamma = 60^\circ - \angle FAB$

$\angle ABC = 60^\circ + \gamma$

$AD // BC$の場合、$\angle BCD = 90^\circ$

$ABCD$ が円に内接しているため、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$

三角形FBCについて、$60 + 30 + \angle BCD = 180$

$\angle BCD = 90°$

$ADC+ABC=180$

$ABC = 60 + Y$

$ADC+ 60 + y = 180$

$ABC+BCD = 180$

$BCD + y +$

$AD//BC$

$\delta = \beta$

$\gamma + \angle BCD= 180$

$\angle BCD =180-y$

$\alpha + \beta + BCD =180$

$60 + 30+ y = 180-90= 90$.

$y = 90$

$\angle = 120.$

三角形の公式

$\alpha \beta \gamma$の合計は180です。

四角形ABCDが円に内接していることから、$\angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ}$。

$\angle CFA = \alpha = 60^{\circ}$, $\angle CBF = \beta = 30^{\circ}$。

$\angle BCF = 180^{\circ} - \alpha - \beta = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 30^{\circ} = 90^{\circ}$。

$\angle BCD = 180^{\circ} - \gamma$ より、$\angle DCF = \angle BCD - \angle BCF = (180^{\circ} - \gamma) - 90^{\circ} = 90^{\circ} - \gamma$。

四角形ABCDの対角の和は180度であるため、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$。

$\angle ADC = \delta$,　$\angle ABC = 180-\delta$,　$\angle ADC = 180-(\angle CBA +\beta)=120$

$ABCD = 30^\circ =100$.

3. 最終的な答え

$\gamma = 30^\circ$