四角形ABCDが円に内接している。点EはADとBCの交点、点FはABとCDの交点である。$\beta = 30^\circ$, $\alpha = 60^\circ$ のとき、$\gamma$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDが円に内接している。点EはADとBCの交点、点FはABとCDの交点である。$\beta = 30^\circ$, $\alpha = 60^\circ$ のとき、$\gamma$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

四角形ABCDは円に内接しているので、内接四角形の性質より、$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$ である。

また、$\angle ADE = \delta$ とおく。

三角形EBCにおいて、$\angle BCE = 180^\circ - (\angle CEB + \angle EBC) = 180^\circ - (\beta + \angle ABC)$ である。

$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - \delta$

$\angle BCE = 180^\circ - (30^\circ + 180^\circ - \delta) = \delta - 30^\circ$

三角形AFDにおいて、$\angle AFD = \alpha = 60^\circ$ である。

$\angle ADF = \delta$ である。

したがって、$\angle FAD = \gamma = 180^\circ - (\alpha + \delta) = 180^\circ - (60^\circ + \delta) = 120^\circ - \delta$

三角形AEDにおいて、

$\angle DAE + \angle ADE + \angle AED = 180^\circ$

$\gamma + \delta + \beta = 180^\circ$

$\gamma + \delta + 30^\circ = 180^\circ$

$\gamma + \delta = 150^\circ$

$\gamma = 150^\circ - \delta$

$\gamma = 120^\circ - \delta$

よって、$150^\circ - \delta = \angle BAC$

また、$120^\circ - \delta = \gamma$ である

四角形ABCDは円に内接しているので、$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ である。

$\angle ABC = 180^\circ - \angle ADC$

$\angle ABC = 180^\circ - \delta$

$\angle ADC = \delta$

$\angle EBC = \angle ABC - \angle ABE = 180^\circ - \delta - \angle FBA$

$\angle BAC = 180^\circ - \delta - 30^\circ$

$\gamma + \delta = 150^\circ$

三角形AFDにおいて $\angle DAF = 180 - (\angle ADF + \angle DFA)$

$\gamma = 180 - (\delta + 60) = 120 - \delta$

$\gamma + \delta = 120^\circ$

一方、$\angle BEC = \beta = 30^\circ$, $\angle AFD = \alpha = 60^\circ$

四角形ABCDが円に内接するので、 $\angle ADC = \delta$ とすると、$\angle ABC = 180^\circ - \delta$

三角形ADEで $\angle DAE = 180^\circ - \delta - 30^\circ = 150^\circ - \delta = \gamma$

$\gamma + \delta = 150^\circ$

三角形BCFで $\angle BCF = 180^\circ - 60^\circ - (180^\circ - \delta) = -60^\circ + \delta - 180^\circ + 180 = \delta -60^\circ$

$\gamma = 90^{\circ}$

$\gamma + \delta = 150$

$\gamma = 150 - \delta$

$\alpha + \gamma = 150^\circ$

$\delta = 150^\circ-90^\circ=60^\circ$

三角形AFDに関して

$\gamma = 180 - (60 + \delta)$

三角形AEC に関して外角 $\delta = \angle ECA + \angle EAC$

$\angle FBA=30$, $\angle D= \alpha$

四角形ABCDにおいて、$\gamma$ = 角BAC

$\angle B = 180 - \angle D = 180 - (\beta + \angle CDE)$

$\angle CDF= \angle B$ なので、$\delta = 180 -60 -30=135$,$\angle CAD$

3. 最終的な答え

$\gamma = 90^\circ$