正三角形ABCが円に内接しており、点Dが円上にある。角$\beta$が30°のとき、角$\alpha$の大きさを求める。

1. 問題の内容

正三角形ABCが円に内接しており、点Dが円上にある。角$\beta$が30°のとき、角$\alpha$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

* 四角形ABCDは円に内接しているので、対角の和は180°である。したがって、

$∠ADC + ∠ABC = 180°$

* 三角形ABCは正三角形なので、$∠ABC = 60°$である。

* したがって、$∠ADC = 180° - 60° = 120°$となる。

* $∠ADC = ∠ADB + ∠BDC$である。

* 円周角の定理より、$∠ADB = ∠ACB = 60°$である。

* したがって、$∠BDC = ∠ADC - ∠ADB = 120° - 60° = 60°$となる。

* 円周角の定理より、$∠BAC = ∠BDC$だが、角度$\alpha$は弧BDに対する円周角なので、$∠BAC = ∠BDC$が成立する。

* $\beta = 30°$より、$∠BAD = 30°$である。

* 正三角形なので、$∠BAC = 60°$である。

* $\alpha = ∠BCD$とする。$∠BCD$は、$∠BCA+∠ACD$で求めることができる。$∠BCA = 60°$であり、$∠ACD = ∠ABD$より$∠ACD=30°$である。

* 円周角の定理より、$∠CAD=∠CBD$であり、弧CDに対する円周角なので、仮に∠CBDをxとすると、$∠CBD = x$とする。

* 円周角の定理より、$∠BCD=∠BAD$であり、弧BDに対する円周角なので、$∠BCD = \alpha = 30°$である。

* したがって、$∠ACB + ∠ACD = \alpha$となるので、$60° + 30° = \alpha$、$∠α=90°$となる。

3. 最終的な答え

90°