実数 $x, y$ に対して、次の条件の間の関係を、選択肢(ア)～(エ)の中から選び、適切なものを記述する。 * (ア) 必要条件であるが十分条件でない * (イ) 十分条件であるが必要条件でない * (ウ) 必要十分条件である * (エ) 必要条件でも十分条件でもない 以下の4つの条件について判断する。 (1) $x = y$ は $x = \sqrt{y^2}$ であるための（ ） (2) $|xy| = xy$ は $x = 0$ または $y = 0$ であるための（ ） (3) $x = 1$ かつ $y = 2$ は $x + y = 3$ かつ $x - y = -1$ であるための（ ） (4) $x, y$ がともに有理数であることは、$x + y$ が有理数であるための（ ）

## 問題の解答

###

5. 必要条件・十分条件の判定

1. **問題の内容**

実数 $x, y$ に対して、次の条件の間の関係を、選択肢(ア)～(エ)の中から選び、適切なものを記述する。

* (ア) 必要条件であるが十分条件でない

* (イ) 十分条件であるが必要条件でない

* (ウ) 必要十分条件である

* (エ) 必要条件でも十分条件でもない

以下の4つの条件について判断する。

(1) $x = y$ は $x = \sqrt{y^2}$ であるための（ ）

(2) $|xy| = xy$ は $x = 0$ または $y = 0$ であるための（ ）

(3) $x = 1$ かつ $y = 2$ は $x + y = 3$ かつ $x - y = -1$ であるための（ ）

(4) $x, y$ がともに有理数であることは、$x + y$ が有理数であるための（ ）

2. **解き方の手順**

(1) $x=y$は$x = \sqrt{y^2}$であるための（　）

$\sqrt{y^2}$ は $|y|$ と同じであるので、$x = |y|$ となる。

$x = y$ならば、$x = |y|$である。（十分条件）

$x = |y|$でも$x = y$とは限らない。（必要条件ではない、反例：$x = 2, y = -2$）

したがって、これは十分条件であるが必要条件でない。(イ)

(2) $|xy| = xy$ は $x = 0$ または $y = 0$ であるための（　）

$|xy| = xy$ は $xy \ge 0$ と同値である。

$xy \ge 0$ ならば、$x = 0$ または $y = 0$ とは限らない。（十分条件ではない、反例：$x = 1, y = 1$）

$x = 0$ または $y = 0$ ならば、$xy \ge 0$である。（必要条件）

したがって、これは必要条件であるが十分条件でない。(ア)

(3) $x = 1$ かつ $y = 2$ は $x + y = 3$ かつ $x - y = -1$ であるための（　）

$x = 1$ かつ $y = 2$ ならば、$x + y = 1 + 2 = 3$ かつ $x - y = 1 - 2 = -1$である。（十分条件）

$x + y = 3$ かつ $x - y = -1$ ならば、$x = 1$ かつ $y = 2$である。（必要条件）

したがって、これは必要十分条件である。(ウ)

(4) $x, y$ がともに有理数であることは、$x + y$ が有理数であるための（　）

$x, y$がともに有理数ならば、$x + y$は有理数である。（十分条件）

$x + y$が有理数でも、$x, y$がともに有理数とは限らない。（必要条件ではない、反例：$x = \sqrt{2}, y = -\sqrt{2}$）

したがって、これは十分条件であるが必要条件でない。(イ)

3. **最終的な答え**

(1) (イ)

(2) (ア)

(3) (ウ)

(4) (イ)

###

6. 条件の否定

1. **問題の内容**

$a, b$ は実数、$n$ は自然数とする。次の条件の否定を述べよ。

(1) $a = -2$

(2) $a \ge 3$

(3) $a^2 + b^2 < 4$

(4) $n$ は奇数である

2. **解き方の手順**

(1) $a = -2$ の否定は $a \ne -2$ である。

(2) $a \ge 3$ の否定は $a < 3$ である。

(3) $a^2 + b^2 < 4$ の否定は $a^2 + b^2 \ge 4$ である。

(4) $n$ は奇数である の否定は $n$ は偶数である。

3. **最終的な答え**

(1) $a \ne -2$

(2) $a < 3$

(3) $a^2 + b^2 \ge 4$

(4) $n$ は偶数である