(5) 複素数の積 $(1+3i)(5+4i)$ を計算せよ。 (6) 複素数 $\frac{1}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表せ。

1. 問題の内容

(5) 複素数の積 $(1+3i)(5+4i)$ を計算せよ。

(6) 複素数 $\frac{1}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表せ。

2. 解き方の手順

(5) $(1+3i)(5+4i)$ の計算

複素数の積を展開し、$i^2 = -1$ を用いて計算する。

$$(1+3i)(5+4i) = 1 \cdot 5 + 1 \cdot 4i + 3i \cdot 5 + 3i \cdot 4i$$

$$= 5 + 4i + 15i + 12i^2$$

$$= 5 + 19i + 12(-1)$$

$$= 5 + 19i - 12$$

$$= -7 + 19i$$

(6) $\frac{1}{3+i}$ を $a+bi$ の形で表す

分母を実数化するために、分母の共役複素数 $3-i$ を分子と分母に掛ける。

$$\frac{1}{3+i} = \frac{1}{3+i} \cdot \frac{3-i}{3-i}$$

$$= \frac{3-i}{(3+i)(3-i)}$$

$$= \frac{3-i}{3^2 - (i)^2}$$

$$= \frac{3-i}{9 - (-1)}$$

$$= \frac{3-i}{10}$$

$$= \frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$$

3. 最終的な答え

(5) $-7 + 19i$

(6) $\frac{3}{10} - \frac{1}{10}i$