3次式 $x^3 - (a+2)x^2 - 5x + 3a$ が $x+1$ を因数に持つとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

3次式 $x^3 - (a+2)x^2 - 5x + 3a$ が $x+1$ を因数に持つとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$x+1$ が $x^3 - (a+2)x^2 - 5x + 3a$ の因数であるということは、$x = -1$ を代入すると、式全体が 0 になることを意味します。つまり、因数定理より、

$(-1)^3 - (a+2)(-1)^2 - 5(-1) + 3a = 0$

これを展開して整理します。

$-1 - (a+2) + 5 + 3a = 0$

$-1 - a - 2 + 5 + 3a = 0$

$2a + 2 = 0$

$2a = -2$

$a = -1$

3. 最終的な答え

$a = -1$