第3項が18、第5項が162である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

第3項が18、第5項が162である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = ar^{n-1}$ で表される。ここで $a$ は初項、$r$ は公比である。

問題文より、

第3項が18なので、$a_3 = ar^{3-1} = ar^2 = 18$

第5項が162なので、$a_5 = ar^{5-1} = ar^4 = 162$

$ar^4 = 162$ を $ar^2 = 18$ で割ると、

$\frac{ar^4}{ar^2} = \frac{162}{18}$

$r^2 = 9$

$r$ は実数なので、$r = \pm 3$

(1) $r = 3$ のとき

$ar^2 = 18$ に代入して、$a(3)^2 = 18$

$9a = 18$

$a = 2$

よって、$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$

(2) $r = -3$ のとき

$ar^2 = 18$ に代入して、$a(-3)^2 = 18$

$9a = 18$

$a = 2$

よって、$a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$

3. 最終的な答え

$a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ または $a_n = 2 \cdot (-3)^{n-1}$