## 問題の解答

## 問題の解答

###

1. 問題の内容

問題8について、以下の2つの命題の真偽を調べ、さらに、それぞれの逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べる問題です。

(1) $|x| = 2 \implies x^2 = 4$

(2) $p^2 = pq \implies p = q$

###

2. 解き方の手順

#### (1) $|x| = 2 \implies x^2 = 4$

* **元の命題の真偽:**

$|x| = 2$ は、$x = 2$ または $x = -2$ を意味します。どちらの場合も、$x^2 = 4$ が成り立ちます。したがって、元の命題は真です。

* **逆:** $x^2 = 4 \implies |x| = 2$

$x^2 = 4$ は、$x = 2$ または $x = -2$ を意味します。どちらの場合も、$|x| = 2$ が成り立ちます。したがって、逆は真です。

* **対偶:** $x^2 \neq 4 \implies |x| \neq 2$

元の命題が真なので、対偶も真です。

(確認: $x^2 \neq 4$ ならば、$x \neq 2$ かつ $x \neq -2$。したがって、$|x| \neq 2$。)

* **裏:** $|x| \neq 2 \implies x^2 \neq 4$

$|x| \neq 2$ は、$x \neq 2$ かつ $x \neq -2$ を意味します。例えば、$x = 3$ のとき、$|x| \neq 2$ ですが、$x^2 = 9 \neq 4$となり、成り立ちます。また、$x=0$のとき、$|x|\neq 2$ですが、$x^2=0 \neq 4$となり、成り立ちます。

$x = 0$とすると、$|0| \neq 2$ かつ $0^2 \neq 4$ なので、成り立ちます。しかし、$x=3$のとき、$|3| \neq 2$かつ $3^2 \neq 4$となるので、成り立ちます。

したがって、裏は真です。

#### (2) $p^2 = pq \implies p = q$

* **元の命題の真偽:**

$p^2 = pq$ は、$p^2 - pq = 0$ と変形でき、$p(p-q) = 0$ となります。したがって、$p = 0$ または $p = q$ です。$p = 0$ の場合、$p=q$とは限りません。

反例として、$p = 0$、$q = 1$ を考えると、$0^2 = 0 \cdot 1$ は成り立ちますが、$0 \neq 1$ です。したがって、元の命題は偽です。

* **逆:** $p = q \implies p^2 = pq$

$p = q$ ならば、$p^2 = p \cdot p = pq$ が成り立ちます。したがって、逆は真です。

* **対偶:** $p \neq q \implies p^2 \neq pq$

元の命題が偽なので、対偶も偽です。

(確認: $p = 0$、$q = 1$ を考えると、$p \neq q$ ですが、$p^2 = pq$ となり、$p^2 \neq pq$ とはなりません。)

* **裏:** $p^2 \neq pq \implies p \neq q$

逆が真なので、裏も真です。

(確認: $p^2 \neq pq$ ならば、$p(p - q) \neq 0$。したがって、$p \neq 0$ かつ $p \neq q$。よって、$p \neq q$。)

###

3. 最終的な答え

**(1) $|x| = 2 \implies x^2 = 4$**

* 元の命題: 真

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真

**(2) $p^2 = pq \implies p = q$**

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 対偶: 偽

* 裏: 真