問題は、与えられた条件の否定を求めるものです。x, y は実数、m, n は自然数とします。以下の条件 (1) から (6) の否定をそれぞれ求めます。 (1) $x < -1$ かつ $y > 0$ (2) $x \leq -1$ または $x = 2$ (3) $3 \leq x < 7$ (4) $n$ は偶数または $3$ の倍数 (5) $m, n$ はともに $5$ の倍数 (6) $m, n$ の少なくとも一方は奇数

1. 問題の内容

問題は、与えられた条件の否定を求めるものです。x, y は実数、m, n は自然数とします。以下の条件 (1) から (6) の否定をそれぞれ求めます。

(1) $x < -1$ かつ $y > 0$

(2) $x \leq -1$ または $x = 2$

(3) $3 \leq x < 7$

(4) $n$ は偶数または $3$ の倍数

(5) $m, n$ はともに $5$ の倍数

(6) $m, n$ の少なくとも一方は奇数

2. 解き方の手順

各条件の否定を求めます。

(1) 「かつ」の否定は「または」です。$x < -1$ の否定は $x \geq -1$ 、$y > 0$ の否定は $y \leq 0$ なので、否定は $x \geq -1$ または $y \leq 0$。

(2) 「または」の否定は「かつ」です。$x \leq -1$ の否定は $x > -1$、$x = 2$ の否定は $x \neq 2$ なので、否定は $x > -1$ かつ $x \neq 2$。

(3) $3 \leq x < 7$ の否定は、$x < 3$ または $x \geq 7$。

(4) 「または」の否定は「かつ」です。「$n$ は偶数」の否定は「$n$ は奇数」、「$n$ は $3$ の倍数」の否定は「$n$ は $3$ の倍数ではない」なので、否定は「$n$ は奇数」かつ「$n$ は $3$ の倍数ではない」。

(5) 「ともに」の否定は「少なくとも一方は〜ではない」です。「$m, n$ はともに $5$ の倍数」の否定は、$m$ または $n$ が $5$ の倍数ではない。つまり、$m$ が $5$ の倍数ではない、または、$n$ が $5$ の倍数ではない。

(6) 「少なくとも一方は」の否定は「両方とも〜ではない」です。「$m, n$ の少なくとも一方は奇数」の否定は、「$m$ と $n$ は両方とも奇数ではない」。つまり、$m$ と $n$ は両方とも偶数である。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq -1$ または $y \leq 0$

(2) $x > -1$ かつ $x \neq 2$

(3) $x < 3$ または $x \geq 7$

(4) $n$ は奇数 かつ $n$ は 3 の倍数ではない

(5) $m$ が $5$ の倍数ではない または $n$ が $5$ の倍数ではない

(6) $m$ と $n$ は両方とも偶数である