問題は、実数 $x, y$ に関する次の3つの命題の真偽を調べること、およびそれぞれの逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べることです。 (1) 長方形ならば、平行四辺形である。 (2) $x \ne 1 \implies (x-1)(x-2) \ne 0$ (3) $x < 0$ または $y < 0 \implies x + y < 0$

1. 問題の内容

問題は、実数 $x, y$ に関する次の3つの命題の真偽を調べること、およびそれぞれの逆、対偶、裏を述べ、それらの真偽を調べることです。

(1) 長方形ならば、平行四辺形である。

(2) $x \ne 1 \implies (x-1)(x-2) \ne 0$

(3) $x < 0$ または $y < 0 \implies x + y < 0$

2. 解き方の手順

(1)

* 元の命題: 長方形ならば、平行四辺形である。これは真です。長方形は平行四辺形の特別な場合です。

* 逆: 平行四辺形ならば、長方形である。これは偽です。平行四辺形は長方形とは限りません（例えば、ひし形）。

* 対偶: 平行四辺形でないならば、長方形でない。これは真です。元の命題が真なので、対偶も真です。

* 裏: 長方形でないならば、平行四辺形でない。これは偽です。長方形でない四角形でも平行四辺形であるものが存在します。

(2)

* 元の命題: $x \ne 1 \implies (x-1)(x-2) \ne 0$。これは真です。$x \ne 1$ ならば、$x-1 \ne 0$ です。もし $(x-1)(x-2) = 0$ ならば、$x-1 = 0$ または $x-2 = 0$ なので、$x=1$ または $x=2$ です。よって、$x \ne 1$ ならば、$x-2$が0でもそうでなくても $(x-1)(x-2) \ne 0$です。

* 逆: $(x-1)(x-2) \ne 0 \implies x \ne 1$。これは偽です。例えば、$x=2$ のとき、$(x-1)(x-2) = (2-1)(2-2) = 1 \cdot 0 = 0$ となり、$x \ne 1$ が成り立ちません。つまり $(x-1)(x-2) \ne 0$でも$x=1$または$x=2$の時があるので$x \ne 1$とは限りません。

* 対偶: $(x-1)(x-2) = 0 \implies x = 1$。これは偽です。$(x-1)(x-2) = 0$ ならば、$x = 1$ または $x = 2$ なので、$x=1$とは限りません。

* 裏: $x = 1 \implies (x-1)(x-2) = 0$。これは真です。$x=1$ のとき、$(x-1)(x-2) = (1-1)(1-2) = 0 \cdot (-1) = 0$ となります。

(3)

* 元の命題: $x < 0$ または $y < 0 \implies x + y < 0$。これは偽です。例えば、$x = -1, y = 1$ のとき、$x < 0$ ですが、$x + y = -1 + 1 = 0$ となり、$x + y < 0$ が成り立ちません。

* 逆: $x + y < 0 \implies x < 0$ または $y < 0$。これは真です。$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ ならば $x + y \ge 0$ なので、その対偶である $x + y < 0 \implies x < 0$ または $y < 0$ は真となります。

* 対偶: $x + y \ge 0 \implies x \ge 0$ かつ $y \ge 0$。これは真です。元の命題が偽なので対偶も偽ではありません。

* 裏: $x \ge 0$ かつ $y \ge 0 \implies x + y \ge 0$。これは真です。$x \ge 0$ かつ $y \ge 0$ ならば $x + y \ge 0$ です。

3. 最終的な答え

(1)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 真

* 裏: 偽

(2)

* 元の命題: 真

* 逆: 偽

* 対偶: 偽

* 裏: 真

(3)

* 元の命題: 偽

* 逆: 真

* 対偶: 真

* 裏: 真