30個のお菓子をX, Y, Zの3人で、X<Y<Zとなるように分けた。 以下の条件の時、Yがもらったお菓子の数を求めよ。 ア. XとYがもらった個数の差はZがもらった個数に等しい。 イ. YとZがもらった個数の差は3個である。

1. 問題の内容

30個のお菓子をX, Y, Zの3人で、X<Y<Zとなるように分けた。

以下の条件の時、Yがもらったお菓子の数を求めよ。

ア. XとYがもらった個数の差はZがもらった個数に等しい。

イ. YとZがもらった個数の差は3個である。

2. 解き方の手順

X, Y, Zがもらったお菓子の数をそれぞれ$x$, $y$, $z$とする。

問題文より以下の3つの式が成り立つ。

* $x + y + z = 30$ (合計の個数)

* $y - x = z$ (条件ア)

* $z - y = 3$ (条件イ)

これらの式から$y$を求める。

2番目の式を1番目の式に代入すると、

$x + y + (y-x) = 30$

$2y = 30$

$y = 15$

しかしこれは条件イを満たさないため、この方法では解けない。

改めて式を立てる。

* $x + y + z = 30$

* $y - x = z$

* $z - y = 3$

3番目の式を変形して $z = y + 3$

これを2番目の式に代入して

$y - x = y + 3$

$-x = 3$

$x = -3$

これはおかしいので、2番目の式と3番目の式の関係が間違っている。

Y < Zなので$y-x = z$は正しい。

$z-y = 3$より、$z = y + 3$

$x+y+z=30$に$z=y+3$を代入

$x + y + y + 3 = 30$

$x + 2y = 27$

$y-x=z$に$z=y+3$を代入

$y-x=y+3$

$-x=3$

$x=-3$

やはりおかしい。

もう一度条件を確認すると、

ア. XとYがもらった個数の差はZがもらった個数に等しい。 つまり、$y-x=z$

イ. YとZがもらった個数の差は3個である。 つまり、$z-y=3$

これより、$z = y + 3$

また、$x + y + z = 30$なので、$x + y + y + 3 = 30$

$x + 2y = 27$

$y - x = z = y + 3$なので、$y - x = y + 3$

$-x = 3$となり、$x = -3$となってしまう。

X,Y,ZはX < Y < Zで自然数なので、式が間違っている。

XとYの差はZなので、$y-x=z$

YとZの差は3なので、$z-y=3$よって、$z=y+3$

合計は30なので、$x+y+z=30$

$z=y+3$を$y-x=z$に代入すると$y-x=y+3$ よって$x=-3$

どこかおかしい。

問題文の「X, Y, Zの順に多くなる」に注目すると、$z-y=3$は$z > y$を満たしている。

$y-x = z$より、$y = x+z$となり、$y > x$を満たしている。

よって$x+y+z=30$に$z=y+3$と$y=x+z$を代入してみる。

$x+y+(y+3)=30$より$x+2y=27$

$y-x=z$より$z=y-x$

$z=y+3$より$y-x=y+3$で、$x=-3$となりおかしい。

条件アを$x-y=z$と解釈すると

$x+y+z=30$

$x-y=z$

$z-y=3$

$x+y+x-y=30$

$2x=30$ よって$x=15$

$x-y=z$より$15-y=z$

$z-y=3$より$z=y+3$

$15-y=y+3$

$2y=12$ よって$y=6$

$z=6+3=9$

$x+y+z=15+6+9=30$

しかし$x>y>z$となってしまうため条件を満たさない。

条件アを$|x-y|=z$と解釈すると

(i) $x>y$の時、$x-y=z$

(ii) $x<y$の時、$y-x=z$

条件イは、$z-y=3$

(i)の時、$x+y+z=30$なので、$x+y+x-y=30$よって$x=15$

$z=y+3$なので、$15-y=y+3$ よって$2y=12$で、$y=6$

$z=6+3=9$ よって$x=15,y=6,z=9$

(ii)の時、$x+y+z=30$なので、$x+y+y-x=30$よって$y=15$

$z=y+3$なので、$z=18$

$y-x=z$なので、$15-x=18$よって$x=-3$これはありえない。

(i)の時、$x=15,y=6,z=9$だが、$x>z>y$となって条件$x<y<z$を満たさない。

条件をよく見ると、$X,Y,Zの順に多くなるように分けたとあるので、$x < y < z$は必須。

条件アより$y-x=z$

条件イより$z-y=3$

$x+y+z=30$

$y-x=z$を$x+y+z=30$に代入、$x+y+y-x=30$よって$2y=30$で、$y=15$

$z-y=3$より$z=15+3=18$

$y-x=z$より$15-x=18$よって$x=-3$となり不適。

問題がおかしい。

3. 最終的な答え

問題文の条件を満たすようなYの値は存在しない。