与えられた数式を計算し、簡単にしてください。 $\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$

代数学数式計算有理化平方根
2025/8/7

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、簡単にしてください。
5+153+515+3\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。
5+153=(5+1)(5+3)(53)(5+3)=5+15+5+353=5+15+5+32\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}+1)(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{5-3} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}
515+3=(51)(53)(5+3)(53)=5155+353=5155+32\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-\sqrt{3})}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{5-3} = \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}
次に、これらを足し合わせます。
5+15+5+32+5155+32=5+15+5+3+5155+32=10+232=5+3\frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} + \frac{5 - \sqrt{15} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{5 + \sqrt{15} + \sqrt{5} + \sqrt{3} + 5 - \sqrt{15} - \sqrt{5} + \sqrt{3}}{2} = \frac{10 + 2\sqrt{3}}{2} = 5 + \sqrt{3}

3. 最終的な答え

5+35 + \sqrt{3}

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