平面上に2点 $A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ があり、線分ABを $m:n$ に外分する点Pの座標を $(x, y)$ とする。ただし、$m > n$ とする。 (1) $A'P' : P'B'$ および $A''P'' : P''B''$ をそれぞれ求めよ。ここで、$A'$, $B'$, $P'$ はそれぞれ点A, B, Pのx軸への正射影であり、$A''$, $B''$, $P''$ はそれぞれ点A, B, Pのy軸への正射影である。 (2) 点Pの座標 $(x, y)$ を求めよ。 (3) 線分APを $(m-n):n$ に内分する点がBであることを用いて、点Pの座標を求め、(2)で求めたものと一致することを確認せよ。

1. 問題の内容

平面上に2点 $A(x_1, y_1)$ と $B(x_2, y_2)$ があり、線分ABを $m:n$ に外分する点Pの座標を $(x, y)$ とする。ただし、$m > n$ とする。

(1) $A'P' : P'B'$ および $A''P'' : P''B''$ をそれぞれ求めよ。ここで、$A'$, $B'$, $P'$ はそれぞれ点A, B, Pのx軸への正射影であり、$A''$, $B''$, $P''$ はそれぞれ点A, B, Pのy軸への正射影である。

(2) 点Pの座標 $(x, y)$ を求めよ。

(3) 線分APを $(m-n):n$ に内分する点がBであることを用いて、点Pの座標を求め、(2)で求めたものと一致することを確認せよ。

2. 解き方の手順

(1)

$A'P' = |x - x_1|$

$P'B' = |x - x_2|$

$A''P'' = |y - y_1|$

$P''B'' = |y - y_2|$

図から、$x > x_2 > x_1$ であり、$y > y_2 > y_1$ であると考えられる。

したがって、$A'P' = x - x_1$, $P'B' = x - x_2$, $A''P'' = y - y_1$, $P''B'' = y - y_2$ となる。

線分ABを $m:n$ に外分する点Pの座標は、

$x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}$

$y = \frac{my_2 - ny_1}{m - n}$

なので、

$A'P' = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n} - x_1 = \frac{mx_2 - nx_1 - mx_1 + nx_1}{m - n} = \frac{m(x_2 - x_1)}{m - n}$

$P'B' = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n} - x_2 = \frac{mx_2 - nx_1 - mx_2 + nx_2}{m - n} = \frac{n(x_2 - x_1)}{m - n}$

$A''P'' = \frac{my_2 - ny_1}{m - n} - y_1 = \frac{my_2 - ny_1 - my_1 + ny_1}{m - n} = \frac{m(y_2 - y_1)}{m - n}$

$P''B'' = \frac{my_2 - ny_1}{m - n} - y_2 = \frac{my_2 - ny_1 - my_2 + ny_2}{m - n} = \frac{n(y_2 - y_1)}{m - n}$

したがって、

$A'P' : P'B' = \frac{m(x_2 - x_1)}{m - n} : \frac{n(x_2 - x_1)}{m - n} = m : n$

$A''P'' : P''B'' = \frac{m(y_2 - y_1)}{m - n} : \frac{n(y_2 - y_1)}{m - n} = m : n$

(2)

点Pの座標 $(x, y)$ は、線分ABを $m:n$ に外分する点なので、

$x = \frac{mx_2 - nx_1}{m - n}$

$y = \frac{my_2 - ny_1}{m - n}$

(3)

線分APを $(m-n):n$ に内分する点がBであるから、

$B = (\frac{n x_1 + (m-n)x}{m-n+n}, \frac{n y_1 + (m-n)y}{m-n+n}) = (\frac{n x_1 + (m-n)x}{m}, \frac{n y_1 + (m-n)y}{m})$

これより、$x_2 = \frac{n x_1 + (m-n)x}{m}$ および $y_2 = \frac{n y_1 + (m-n)y}{m}$

$mx_2 = nx_1 + (m-n)x$

$mx_2 - nx_1 = (m-n)x$

$x = \frac{mx_2 - nx_1}{m-n}$

$my_2 = ny_1 + (m-n)y$

$my_2 - ny_1 = (m-n)y$

$y = \frac{my_2 - ny_1}{m-n}$

これは(2)で求めた点Pの座標と一致する。

3. 最終的な答え

(1) $A'P' : P'B' = m : n$, $A''P'' : P''B'' = m : n$

(2) $P(x, y) = (\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n})$

(3) 点Pの座標は、(2)で求めたものと一致する。