三角形ABCの面積を求める問題です。 (1) $a=3$, $c=2\sqrt{2}$, $B=45^\circ$のとき (2) $a=6$, $b=5$, $c=4$のとき

1. 問題の内容

三角形ABCの面積を求める問題です。

(1) $a=3$, $c=2\sqrt{2}$, $B=45^\circ$のとき

(2) $a=6$, $b=5$, $c=4$のとき

2. 解き方の手順

(1) 2辺とその間の角がわかっているので、三角形の面積の公式$S = \frac{1}{2}ac\sin{B}$を使います。

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 2\sqrt{2} \times \sin{45^\circ}$

$\sin{45^\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$なので、

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times 2\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$

(2) 3辺がわかっているので、ヘロンの公式を使います。

まず、$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+5+4}{2} = \frac{15}{2}$を計算します。

ヘロンの公式は、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$です。

$S = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-6)(\frac{15}{2}-5)(\frac{15}{2}-4)}$

$= \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{7}{2}}$

$= \sqrt{\frac{15 \times 3 \times 5 \times 7}{16}}$

$= \sqrt{\frac{1575}{16}}$

$= \frac{\sqrt{1575}}{4}$

$1575 = 25 \times 63 = 25 \times 9 \times 7 = 5^2 \times 3^2 \times 7$

$S = \frac{\sqrt{5^2 \times 3^2 \times 7}}{4} = \frac{5 \times 3 \times \sqrt{7}}{4} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $\frac{15\sqrt{7}}{4}$