焦点の座標が$(\pm\sqrt{58}, 0)$で、点$(4, 5\sqrt{2})$を通る双曲線の方程式を求める。

1. 問題の内容

焦点の座標が$(\pm\sqrt{58}, 0)$で、点$(4, 5\sqrt{2})$を通る双曲線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

双曲線の標準形は

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

で表される。

焦点の座標が$(\pm\sqrt{58}, 0)$であることから、

$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{58}$

$a^2 + b^2 = 58$

点$(4, 5\sqrt{2})$が双曲線上の点であるから、

$\frac{4^2}{a^2} - \frac{(5\sqrt{2})^2}{b^2} = 1$

$\frac{16}{a^2} - \frac{50}{b^2} = 1$

$a^2 + b^2 = 58$より、

$b^2 = 58 - a^2$

これを$\frac{16}{a^2} - \frac{50}{b^2} = 1$に代入すると、

$\frac{16}{a^2} - \frac{50}{58 - a^2} = 1$

$16(58 - a^2) - 50a^2 = a^2(58 - a^2)$

$928 - 16a^2 - 50a^2 = 58a^2 - a^4$

$a^4 - 124a^2 + 928 = 0$

$t = a^2$とおくと

$t^2 - 124t + 928 = 0$

この二次方程式を解くと、

$t = \frac{124 \pm \sqrt{124^2 - 4(928)}}{2} = \frac{124 \pm \sqrt{15376 - 3712}}{2} = \frac{124 \pm \sqrt{11664}}{2} = \frac{124 \pm 108}{2}$

$t = 62 \pm 54$

$t = 116, 8$

$a^2 = 116$のとき、 $b^2 = 58 - 116 = -58$となり不適。

したがって、$a^2 = 8$

$b^2 = 58 - 8 = 50$

よって双曲線の方程式は、

$\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{50} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{8} - \frac{y^2}{50} = 1$