三角錐ABCDにおいて、AB=AC=AD=6, BC=CD=DB=$6\sqrt{2}$であるとき、この三角錐に内接する球の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角錐ABCDにおいて、AB=AC=AD=6, BC=CD=DB=$6\sqrt{2}$であるとき、この三角錐に内接する球の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、底面BCDは正三角形であり、BC=CD=DB=$6\sqrt{2}$ である。

正三角形BCDの面積を$S_{BCD}$とすると、

$S_{BCD} = \frac{\sqrt{3}}{4} (6\sqrt{2})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 36 \times 2 = 18\sqrt{3}$

次に、頂点Aから底面BCDに下ろした垂線の足をHとする。

AB=AC=ADなので、Hは三角形BCDの外心となる。

三角形BCDは正三角形なので、外心Hは重心と一致する。

BHは正三角形BCDの外接円の半径に等しいので、

$BH = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$

直角三角形ABHにおいて、ピタゴラスの定理より、

$AH^2 + BH^2 = AB^2$

$AH^2 + (2\sqrt{6})^2 = 6^2$

$AH^2 + 24 = 36$

$AH^2 = 12$

$AH = 2\sqrt{3}$

三角錐ABCDの体積をVとすると、

$V = \frac{1}{3} S_{BCD} \times AH = \frac{1}{3} \times 18\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = \frac{1}{3} \times 18 \times 3 \times 2 = 36$

三角錐ABCDの表面積をSとする。

S = $S_{BCD}$ + 3 × 三角形ABCの面積

三角形ABCの面積を$S_{ABC}$とする。

AB=AC=6, BC=$6\sqrt{2}$であるので、ヘロンの公式より、

$s = \frac{6+6+6\sqrt{2}}{2} = 6 + 3\sqrt{2}$

$S_{ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(6+3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(3\sqrt{2})(6-3\sqrt{2})}$

$= \sqrt{(36-18)(18)} = \sqrt{18 \times 18} = 18$

$S = S_{BCD} + 3 S_{ABC} = 18\sqrt{3} + 3 \times 18 = 18\sqrt{3} + 54 = 18(\sqrt{3}+3)$

内接球の半径をrとすると、

$V = \frac{1}{3} r S$

$36 = \frac{1}{3} r \times 18(\sqrt{3}+3)$

$36 = 6 r (\sqrt{3}+3)$

$6 = r (\sqrt{3}+3)$

$r = \frac{6}{3+\sqrt{3}} = \frac{6(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{6(3-\sqrt{3})}{9-3} = \frac{6(3-\sqrt{3})}{6} = 3-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{3}$