(1) $\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$ のとき、三角形の面積 $S$ を求める。 (2) $\triangle ABC$ において、$A=45^\circ$, $B=60^\circ$, $a=10$ のとき、$b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$ のとき、三角形の面積 $S$ を求める。

(2) $\triangle ABC$ において、$A=45^\circ$, $B=60^\circ$, $a=10$ のとき、$b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の面積の公式 $S = \frac{1}{2}bc\sin A$ を用いる。

$b=2$, $c=3$, $A=60^\circ$ を代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \sin 60^\circ$

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) 正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ を用いる。

$A=45^\circ$, $B=60^\circ$, $a=10$ を代入すると、

$\frac{10}{\sin 45^\circ} = \frac{b}{\sin 60^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$\frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}}$

$b = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{6}}{2} = 5\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

(2) $b = 5\sqrt{6}$