点 $A(2, -1, 1)$ と直線 $\frac{x-4}{-2} = \frac{y-1}{3} = z+1$ を含む平面の方程式を求めます。

1. 問題の内容

点 $A(2, -1, 1)$ と直線 $\frac{x-4}{-2} = \frac{y-1}{3} = z+1$ を含む平面の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、直線のパラメータ表示を求めます。$\frac{x-4}{-2} = \frac{y-1}{3} = z+1 = t$ とおくと、

\begin{align*}

x &= -2t + 4 \\

y &= 3t + 1 \\

z &= t - 1

\end{align*}

となります。よって、この直線上の点 $B$ は $B(4, 1, -1)$ と表せます。また、方向ベクトル $\vec{d}$ は $\vec{d} = (-2, 3, 1)$ となります。

次に、平面上のベクトルを2つ求めます。一つは $\vec{d} = (-2, 3, 1)$ です。もう一つは $\vec{AB}$ です。

$\vec{AB} = (4-2, 1-(-1), -1-1) = (2, 2, -2)$ となります。

平面の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{d}$ と $\vec{AB}$ の外積で求められます。

\begin{align*}

\vec{n} &= \vec{d} \times \vec{AB} \\

&= \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \end{vmatrix} \\

&= (3(-2) - 1(2))\vec{i} - ((-2)(-2) - 1(2))\vec{j} + ((-2)(2) - 3(2))\vec{k} \\

&= (-6 - 2)\vec{i} - (4 - 2)\vec{j} + (-4 - 6)\vec{k} \\

&= -8\vec{i} - 2\vec{j} - 10\vec{k} \\

&= (-8, -2, -10)

\end{align*}

法線ベクトルを簡単にするために、$-2$ で割ると $\vec{n} = (4, 1, 5)$ となります。

したがって、平面の方程式は $4(x-2) + 1(y+1) + 5(z-1) = 0$ となります。

これを展開すると、

\begin{align*}

4x - 8 + y + 1 + 5z - 5 &= 0 \\

4x + y + 5z - 12 &= 0

\end{align*}

3. 最終的な答え

$4x + y + 5z - 12 = 0$

すなわち、$4x + y + 5z = 12$