一辺の長さが6である正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。 (1) $\angle BPC = \theta$ とおく。PB, PC, $\cos\theta$ を求める。$\triangle PBC$ の面積 $S$ を求める。 (2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、OGを求め、正四面体OABCの体積Vを求める。四面体OPBCの体積V'を求め、頂点Oから平面PBCに下ろした垂線をOHとする。OHを求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが6である正四面体OABCにおいて、辺OAを1:2に内分する点をPとする。

(1) $\angle BPC = \theta$ とおく。PB, PC, $\cos\theta$ を求める。$\triangle PBC$ の面積 $S$ を求める。

(2) 頂点Oから底面ABCに下ろした垂線をOGとすると、OGを求め、正四面体OABCの体積Vを求める。四面体OPBCの体積V'を求め、頂点Oから平面PBCに下ろした垂線をOHとする。OHを求める。

2. 解き方の手順

(1)

PB, PCを求める。$\triangle OAB$ において、$OA = 6, OB = 6, AP = 2$ であるから、$OP = 2$ である。$\triangle POB$ において、余弦定理より、

$PB^2 = OP^2 + OB^2 - 2 \times OP \times OB \times \cos(\angle AOB)$

正四面体の頂角は60度なので、$\angle AOB = 60^{\circ}$。

$PB^2 = 2^2 + 6^2 - 2 \times 2 \times 6 \times \cos 60^{\circ} = 4 + 36 - 24 \times \frac{1}{2} = 40 - 12 = 28$

よって $PB = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$.

同様に、$PC = PB = 2\sqrt{7}$.

$\triangle PBC$ において、余弦定理より、

$BC^2 = PB^2 + PC^2 - 2 \times PB \times PC \times \cos \theta$

$6^2 = (2\sqrt{7})^2 + (2\sqrt{7})^2 - 2 \times 2\sqrt{7} \times 2\sqrt{7} \times \cos \theta$

$36 = 28 + 28 - 56 \cos \theta$

$56 \cos \theta = 56 - 36 = 20$

$\cos \theta = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$

$\triangle PBC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times PB \times PC \times \sin \theta$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ より、

$\sin^2 \theta = 1 - \left(\frac{5}{14}\right)^2 = 1 - \frac{25}{196} = \frac{171}{196} = \frac{9 \times 19}{196}$

$\sin \theta = \sqrt{\frac{171}{196}} = \frac{3\sqrt{19}}{14}$

$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{7} \times 2\sqrt{7} \times \frac{3\sqrt{19}}{14} = \frac{1}{2} \times 28 \times \frac{3\sqrt{19}}{14} = 14 \times \frac{3\sqrt{19}}{14} = 3\sqrt{19}$

(2)

OGを求める。正四面体OABCにおいて、OGは正三角形ABCの重心である。

正三角形の一つの内角は60度である。

正三角形ABCの面積は、$\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times \sin 60^{\circ} = 18 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$.

正三角形の高さを $h$ とすると、$h = 6 \times \sin 60^{\circ} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

重心は高さを2:1に内分するので、$AG = \frac{2}{3}h = \frac{2}{3} \times 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

$\triangle OAG$ は直角三角形なので、$OG^2 = OA^2 - AG^2 = 6^2 - (2\sqrt{3})^2 = 36 - 12 = 24$.

よって $OG = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.

正四面体OABCの体積Vを求める。

$V = \frac{1}{3} \times (9\sqrt{3}) \times (2\sqrt{6}) = \frac{1}{3} \times 18 \sqrt{18} = 6 \times 3\sqrt{2} = 18\sqrt{2}$

四面体OPBCの体積V'を求める。

四面体OPBCの体積は、四面体OABCの体積の $\frac{1}{3}$ 倍である。

$V' = \frac{1}{3}V = \frac{1}{3} (18\sqrt{2}) = 6\sqrt{2}$.

OHを求める。

$\triangle PBC$ の面積は $3\sqrt{19}$。

四面体OPBCの体積は $6\sqrt{2}$.

$V' = \frac{1}{3} \times \triangle PBC \times OH$

$6\sqrt{2} = \frac{1}{3} \times 3\sqrt{19} \times OH$

$6\sqrt{2} = \sqrt{19} \times OH$

$OH = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{19}} = \frac{6\sqrt{38}}{19}$.

3. 最終的な答え

PB = PC = $2\sqrt{7}$

$\cos \theta = \frac{5}{14}$

$S = 3\sqrt{19}$

OG = $2\sqrt{6}$

$V = 18\sqrt{2}$

$V' = 6\sqrt{2}$

OH = $\frac{6\sqrt{38}}{19}$