$k$ を正の実数とする。点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にあり、$k\overrightarrow{AP} + 5\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ を満たしている。また、辺 $BC$ を $3:5$ に内分する点を $D$ とする。 (1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, k$ で表せ。 (2) 3点 $A, P, D$ は一直線上にあることを示せ。 (3) $\triangle ABP$ の面積を $S_1$, $\triangle BDP$ の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 : S_2$ を $k$ で表せ。 (4) $\triangle ABP$ の面積が $\triangle CDP$ の面積の $\frac{6}{5}$ 倍に等しいとき、$k$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$k$ を正の実数とする。点 $P$ は $\triangle ABC$ の内部にあり、$k\overrightarrow{AP} + 5\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ を満たしている。また、辺 $BC$ を $3:5$ に内分する点を $D$ とする。

(1) $\overrightarrow{AP}$ を $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, k$ で表せ。

(2) 3点 $A, P, D$ は一直線上にあることを示せ。

(3) $\triangle ABP$ の面積を $S_1$, $\triangle BDP$ の面積を $S_2$ とするとき、$S_1 : S_2$ を $k$ で表せ。

(4) $\triangle ABP$ の面積が $\triangle CDP$ の面積の $\frac{6}{5}$ 倍に等しいとき、$k$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $k\overrightarrow{AP} + 5\overrightarrow{BP} + 3\overrightarrow{CP} = \overrightarrow{0}$ より、

$k\overrightarrow{AP} + 5(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AB}) + 3(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{0}$

$(k+5+3)\overrightarrow{AP} = 5\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$(k+8)\overrightarrow{AP} = 5\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{k+8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{k+8}\overrightarrow{AC}$

(2) 点 $D$ は辺 $BC$ を $3:5$ に内分する点なので、

$\overrightarrow{AD} = \frac{5\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{3+5} = \frac{5\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{8}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{5}{k+8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{k+8}\overrightarrow{AC} = \frac{8}{k+8} \cdot \frac{5\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}}{8} = \frac{8}{k+8}\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{AP} = \frac{8}{k+8}\overrightarrow{AD}$

よって、3点 $A, P, D$ は一直線上にある。

(3) $\overrightarrow{AP} = \frac{8}{k+8}\overrightarrow{AD}$ より、$AP:AD = 8:(k+8)$. よって、$PD:AD = (k+8-8):(k+8) = k:(k+8)$.

$S_1 = \triangle ABP$

$S_2 = \triangle BDP = \frac{PD}{AD} \triangle ABD = \frac{k}{k+8} \triangle ABD$

$\triangle ABD = \frac{3}{8} \triangle ABC$

$\triangle ABP : \triangle ABC = \frac{5}{k+8} : 1$

$\triangle ABP = \frac{5}{k+8} \triangle ABC$

$\triangle ABD = \frac{3}{8} \triangle ABC$

$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{5}{k+8} \triangle ABC}{\frac{k}{k+8} \frac{3}{8} \triangle ABC} = \frac{\frac{5}{k+8}}{\frac{3k}{8(k+8)}} = \frac{5}{k+8} \cdot \frac{8(k+8)}{3k} = \frac{40}{3k}$

$S_1 : S_2 = \frac{40}{3k}$

(4) $\triangle ABP = \frac{6}{5} \triangle CDP$

$\triangle ABC = \triangle ABP + \triangle BCP + \triangle CAP$

$\triangle ABC = \triangle ABP + \triangle BDP + \triangle CDP + \triangle CAP$

$\triangle CDP = \frac{5}{6} \triangle ABP = \frac{5}{6} S_1$

$\triangle BDP = S_2$

$\triangle CDP = \frac{PD}{AD} \triangle ADC = \frac{k}{k+8} \cdot \frac{5}{8} \triangle ABC = \frac{5k}{8(k+8)} \triangle ABC$

$\triangle ABP = \frac{5}{k+8} \triangle ABC$

$\frac{5}{k+8} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5k}{8(k+8)}$

$\frac{5}{k+8} = \frac{30k}{40(k+8)}$

$200(k+8) = 30k(k+8)$

$200 = 30k$

$k = \frac{200}{30} = \frac{20}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AP} = \frac{5}{k+8}\overrightarrow{AB} + \frac{3}{k+8}\overrightarrow{AC}$

(2) 3点 $A, P, D$ は一直線上にある。

(3) $S_1 : S_2 = 40:3k$

(4) $k = \frac{20}{3}$