座標空間において、点A(0, -1, 1)と点B(-1, 0, 0)を結ぶ線分ABを軸として回転させたときにできる回転面と、平面 $z = 0$ と $z = 1$ で囲まれた立体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

座標空間において、点A(0, -1, 1)と点B(-1, 0, 0)を結ぶ線分ABを軸として回転させたときにできる回転面と、平面 $z = 0$ と $z = 1$ で囲まれた立体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、線分ABを表すベクトルを求める。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 0, 0) - (0, -1, 1) = (-1, 1, -1)$

次に、線分AB上の任意の点Pの座標をパラメータ表示する。

$\vec{OP} = \vec{OA} + t\vec{AB} = (0, -1, 1) + t(-1, 1, -1) = (-t, -1+t, 1-t)$

ここで、$0 \le t \le 1$

点Pからz軸に下ろした垂線の足をHとする。点Pをz軸周りに回転させたときの半径をrとする。

rはPのx座標とy座標から求められる。

$r^2 = x^2 + y^2 = (-t)^2 + (-1+t)^2 = t^2 + (t-1)^2 = t^2 + t^2 - 2t + 1 = 2t^2 - 2t + 1$

$r = \sqrt{2t^2 - 2t + 1}$

微小な線分の長さdsを計算する。

$ds = |\vec{AB}| dt = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} dt = \sqrt{3} dt$

回転体の微小体積dVは、半径rの円の面積に微小な線分の長さdsを掛けたものとして計算できる。

$dV = \pi r^2 ds = \pi (2t^2 - 2t + 1) \sqrt{3} dt$

求める体積Vは、tを0から1まで積分することで得られる。

$V = \int_{0}^{1} \pi (2t^2 - 2t + 1) \sqrt{3} dt = \pi\sqrt{3} \int_{0}^{1} (2t^2 - 2t + 1) dt = \pi\sqrt{3} [\frac{2}{3}t^3 - t^2 + t]_{0}^{1}$

$V = \pi\sqrt{3} (\frac{2}{3} - 1 + 1) = \pi\sqrt{3} (\frac{2}{3}) = \frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi$