円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = 3x + k$ が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 1$ と直線 $y = 3x + k$ が異なる2点で交わるような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

円と直線が異なる2点で交わる条件は、円の中心と直線の距離が円の半径より小さいことである。

円の中心は原点 $(0, 0)$ であり、半径は $1$ である。直線 $y = 3x + k$ を $3x - y + k = 0$ と変形する。

点 $(0, 0)$ と直線 $3x - y + k = 0$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式を用いて計算できる。

$d = \frac{|3(0) - (0) + k|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{10}}$

円と直線が異なる2点で交わる条件は $d < 1$ であるから、

$\frac{|k|}{\sqrt{10}} < 1$

$|k| < \sqrt{10}$

したがって、$-\sqrt{10} < k < \sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$-\sqrt{10} < k < \sqrt{10}$