与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開して整理せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を展開して整理せよ。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(b+c)(c+a) = bc + ba + c^2 + ca = bc + ab + c^2 + ac$

次に、この結果に $(a+b)$ を掛けます。

$(bc + ab + c^2 + ac)(a+b) = abc + b^2c + a^2b + ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2c + abc = 2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

最後に、$abc$ を足します。

$2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + abc = 3abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

この式を因数分解します。$a$ について整理すると

$a^2(b+c) + a(b^2 + c^2 + 3bc) + bc(b+c)$

さらに、$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2 + bc) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a((b+c)^2 + bc) + bc(b+c)$

これは $(a+b)(b+c)(c+a)$ に等しくなります。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab+ac+b^2+bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc = 2abc + a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b$

したがって、 $(b+c)(c+a)(a+b)+abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc - abc + abc$ で、式を展開して整理すると

$(a+b)(b+c)(c+a)+abc = a^2(b+c) + b^2(c+a) + c^2(a+b) + 2abc + abc = a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc$

よって、$a^2b + a^2c + b^2c + b^2a + c^2a + c^2b + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a) + abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$