与えられた2次不等式 $mx^2 + (m-1)x + m > 0$ が解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。また、解が特殊な形になる2次不等式の例を2つ以上作り、それぞれを解く。

1. 問題の内容

与えられた2次不等式 $mx^2 + (m-1)x + m > 0$ が解をもたないとき、定数 $m$ の値の範囲を求める。また、解が特殊な形になる2次不等式の例を2つ以上作り、それぞれを解く。

2. 解き方の手順

(1) $mx^2 + (m-1)x + m > 0$ が解をもたない条件を考える。これは、$mx^2 + (m-1)x + m \leq 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つことと同値である。

まず、$m=0$ の場合を考える。このとき、不等式は $-(x)>0$、つまり $-x > 0$ となり、$x<0$ となる。これは全ての実数 $x$ で成り立つわけではないので、$m=0$ は条件を満たさない。

次に、$m \neq 0$ の場合を考える。

$mx^2 + (m-1)x + m \leq 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つためには、

* $m < 0$ (上に凸)

* 判別式 $D = (m-1)^2 - 4m^2 \leq 0$

判別式 $D$ について計算する。

$D = (m-1)^2 - 4m^2 = m^2 - 2m + 1 - 4m^2 = -3m^2 - 2m + 1$

$-3m^2 - 2m + 1 \leq 0$

$3m^2 + 2m - 1 \geq 0$

$(3m - 1)(m + 1) \geq 0$

$m \leq -1$ または $m \geq \frac{1}{3}$

$m < 0$ と $m \leq -1$ または $m \geq \frac{1}{3}$ の共通範囲を考えると、$m \leq -1$ である。

(2) 解が特殊な形になる2次不等式の例を挙げる。

例1：$x^2 + 2x + 1 < 0$

$(x+1)^2 < 0$

これは解なし。

例2：$x^2 + 2x + 1 \leq 0$

$(x+1)^2 \leq 0$

$(x+1)^2$ は常に0以上なので、$x+1 = 0$ のときのみ成り立つ。

したがって、$x = -1$ が解。

例3：$x^2 + 2x + 2 > 0$

$(x+1)^2 + 1 > 0$

$(x+1)^2$ は常に0以上なので、$(x+1)^2 + 1$ は常に1以上。

したがって、すべての実数 $x$ が解。

例4：$x^2 > 0$

$x \neq 0$

$x = 0$ 以外のすべての実数が解。

3. 最終的な答え

$m \leq -1$

例1：解なし　$x^2 + 2x + 1 < 0$

例2：$x = -1$　$x^2 + 2x + 1 \leq 0$