与えられた3つの問題は以下の通りです。 (1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。 (2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値を全て求める。 (3) $\sqrt{84a}$ が整数となるような自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求める。

1. 問題の内容

与えられた3つの問題は以下の通りです。

(1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となるような最小の自然数 $m$ を求める。

(2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となるような自然数 $a$ の値を全て求める。

(3) $\sqrt{84a}$ が整数となるような自然数 $a$ の値を小さい方から3つ求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{\sqrt{168m}}{3}$ が整数となる条件を考える。

まず、168を素因数分解すると $168 = 2^3 \times 3 \times 7$ となる。

したがって、$\frac{\sqrt{168m}}{3} = \frac{\sqrt{2^3 \times 3 \times 7 \times m}}{3}$

これが整数となるためには、$2^3 \times 3 \times 7 \times m$ がある整数の2乗にならなければならない。

$m$ は自然数なので、$m = 2 \times 3 \times 7 \times k^2$ (kは自然数) と表せる必要がある。

$\frac{\sqrt{2^3 \times 3 \times 7 \times 2 \times 3 \times 7 \times k^2}}{3} = \frac{\sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2 \times k^2}}{3} = \frac{2^2 \times 3 \times 7 \times k}{3} = 28k$

$\frac{\sqrt{168m}}{3}$が整数となるためには、$m$は$2\times3\times7$の倍数である必要がある。

さらに、$\frac{\sqrt{168m}}{3}$の分母の3を打ち消すために、$\sqrt{168m}$の中に$3^2$が含まれている必要がある。つまり$m$は3の倍数である必要がある。

$m$の最小値は$2 \times 7 \times 3 = 14$の倍数で、$\sqrt{168m}/3$が整数となる最小の$m$を考える。

$\frac{\sqrt{168m}}{3} = \frac{\sqrt{2^3 \times 3 \times 7 \times m}}{3}$ が整数になる最小の$m$は $m = 2 \times 3 \times 7 = 42$.

すると$\frac{\sqrt{168 \times 42}}{3} = \frac{\sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2}}{3} = \frac{2^2 \times 3 \times 7}{3} = 28$となり整数になる。

(2) $\sqrt{39-3a}$ が自然数となる条件を考える。

$39-3a$ は自然数の2乗でなければならない。

$39-3a = n^2$ ($n$は自然数)とすると、$39-3a \ge 0$ より $3a \le 39$ なので $a \le 13$。

$39-3a = 3(13-a)$なので、$n^2$ は3の倍数である必要があり、$n$ は3の倍数である必要がある。

$n=1,2,3,4,5,6,...$ を試していく。

$n=1$のとき、$39-3a=1$, $3a=38$, $a=38/3$ (不適)

$n=2$のとき、$39-3a=4$, $3a=35$, $a=35/3$ (不適)

$n=3$のとき、$39-3a=9$, $3a=30$, $a=10$

$n=4$のとき、$39-3a=16$, $3a=23$, $a=23/3$ (不適)

$n=5$のとき、$39-3a=25$, $3a=14$, $a=14/3$ (不適)

$n=6$のとき、$39-3a=36$, $3a=3$, $a=1$

したがって、$a=1$ と $a=10$。

(3) $\sqrt{84a}$ が整数となる条件を考える。

$84 = 2^2 \times 3 \times 7$ なので、$\sqrt{84a} = \sqrt{2^2 \times 3 \times 7 \times a}$

これが整数となるには、$3 \times 7 \times a$ がある整数の2乗になる必要がある。

よって、$a = 3 \times 7 \times k^2 = 21k^2$ (kは自然数)

$k=1$のとき、$a = 21 \times 1^2 = 21$

$k=2$のとき、$a = 21 \times 2^2 = 21 \times 4 = 84$

$k=3$のとき、$a = 21 \times 3^2 = 21 \times 9 = 189$

小さい方から3つの $a$ の値は、21, 84, 189。

3. 最終的な答え

(1) $m = 42$

(2) $a = 1, 10$

(3) $a = 21, 84, 189$