与えられた2次関数 $y = 2x^2 - kx + 18$ について、以下の2つの問題を解く。 問1: このグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求める。 問2: $x$ 軸との交点 A, B の距離が $\frac{5}{2}$ であるとき、$k$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 - kx + 18$ について、以下の2つの問題を解く。

問1: このグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わるような $k$ の範囲を求める。

問2: $x$ 軸との交点 A, B の距離が $\frac{5}{2}$ であるとき、$k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問1:

2次関数 $y = 2x^2 - kx + 18$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ であること。

判別式 $D$ は、$D = (-k)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 18 = k^2 - 144$。

$D > 0$ より、$k^2 - 144 > 0$。

したがって、$k^2 > 144$。

これは、$k < -12$ または $12 < k$ を意味する。

問2:

$2x^2 - kx + 18 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = \frac{k}{2}$

$\alpha \beta = \frac{18}{2} = 9$

$AB = |\alpha - \beta| = \frac{5}{2}$

$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$

$(\frac{5}{2})^2 = (\frac{k}{2})^2 - 4(9)$

$\frac{25}{4} = \frac{k^2}{4} - 36$

$\frac{25}{4} + 36 = \frac{k^2}{4}$

$\frac{25+144}{4} = \frac{k^2}{4}$

$\frac{169}{4} = \frac{k^2}{4}$

$k^2 = 169$

$k = \pm 13$

3. 最終的な答え

問1: $k < -12, 12 < k$

問2: $k = \pm 13$