以下の５つの問題を解きます。 (1) $(2x-1)(3x+4) - (x+6)(x-1)$ を展開し、整理する。 (2) $2x^2 + xy - y^2$ を因数分解する。 (3) $a = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$, $b = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$ のとき、$a^2 + b^2$ を求める。 (4) ある数 $x$ を 4 倍して 3 を足した数は、$x$ に 3 を足して 2 倍した数より小さい。このとき、$x$ の取り得る値の範囲を求める。 (5) 方程式 $|x-3| = 4$ の解を求める。

1. 問題の内容

以下の５つの問題を解きます。

(1) $(2x-1)(3x+4) - (x+6)(x-1)$ を展開し、整理する。

(2) $2x^2 + xy - y^2$ を因数分解する。

(3) $a = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$, $b = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$ のとき、$a^2 + b^2$ を求める。

(4) ある数 $x$ を 4 倍して 3 を足した数は、$x$ に 3 を足して 2 倍した数より小さい。このとき、$x$ の取り得る値の範囲を求める。

(5) 方程式 $|x-3| = 4$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $(2x-1)(3x+4) - (x+6)(x-1)$ を展開し、整理します。

$(2x-1)(3x+4) = 6x^2 + 8x - 3x - 4 = 6x^2 + 5x - 4$

$(x+6)(x-1) = x^2 - x + 6x - 6 = x^2 + 5x - 6$

$(6x^2 + 5x - 4) - (x^2 + 5x - 6) = 6x^2 + 5x - 4 - x^2 - 5x + 6 = 5x^2 + 2$

(2) $2x^2 + xy - y^2$ を因数分解します。

$2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$

(3) $a^2 + b^2$ を求めます。

$a = 5\sqrt{2} + 3\sqrt{3}$, $b = 5\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$

$a^2 = (5\sqrt{2} + 3\sqrt{3})^2 = (5\sqrt{2})^2 + 2(5\sqrt{2})(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 50 + 30\sqrt{6} + 27 = 77 + 30\sqrt{6}$

$b^2 = (5\sqrt{2} - 3\sqrt{3})^2 = (5\sqrt{2})^2 - 2(5\sqrt{2})(3\sqrt{3}) + (3\sqrt{3})^2 = 50 - 30\sqrt{6} + 27 = 77 - 30\sqrt{6}$

$a^2 + b^2 = (77 + 30\sqrt{6}) + (77 - 30\sqrt{6}) = 154$

(4) ある数 $x$ を 4 倍して 3 を足した数は、$x$ に 3 を足して 2 倍した数より小さい。

$4x + 3 < 2(x+3)$

$4x + 3 < 2x + 6$

$2x < 3$

$x < \frac{3}{2}$

(5) 方程式 $|x-3| = 4$ の解を求めます。

$x-3 = 4$ または $x-3 = -4$

$x = 7$ または $x = -1$

3. 最終的な答え

(1) $5x^2 + 2$

(2) $(2x - y)(x + y)$

(3) $154$

(4) $x < \frac{3}{2}$

(5) $x = 7, -1$