(1) $x+2y+12=0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。 (2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y=4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $x+2y+12=0$ のとき、$xy$ の最大値を求めよ。

(2) $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+y=4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x+2y+12 = 0$ より、$x=-2y-12$ である。これを $xy$ に代入すると、

$xy = (-2y-12)y = -2y^2 -12y$

次に、この式を平方完成する。

$-2y^2 - 12y = -2(y^2 + 6y) = -2(y^2 + 6y + 9 - 9) = -2((y+3)^2 - 9) = -2(y+3)^2 + 18$

$-2(y+3)^2 + 18$ は $(y+3)^2 = 0$ のとき、つまり $y = -3$ のとき最大値 $18$ をとる。

このとき、$x = -2(-3) - 12 = 6 - 12 = -6$ である。

したがって、$xy$ の最大値は $18$ である。

(2)

$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ かつ $x+y = 4$ という条件がある。

$x+y=4$ より、$y = 4-x$ となる。

$y \geq 0$ であるから、$4-x \geq 0$ となる。

したがって、$x \leq 4$ である。

また、$x \geq 0$ であるから、$0 \leq x \leq 4$ である。

3. 最終的な答え

(1) $18$

(2) $0 \leq x \leq 4$