$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求め、さらに $x^2+y^2$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x \ge 0$, $y \ge 0$, $x+y=4$ のとき、$x$ のとりうる値の範囲を求め、さらに $x^2+y^2$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x+y=4$ より、$y=4-x$ が得られます。

$y \ge 0$ であるから、$4-x \ge 0$ となり、$x \le 4$ が得られます。

また、$x \ge 0$ であるから、$0 \le x \le 4$ となります。

したがって、$x$ のとりうる値の範囲は $0 \le x \le 4$ です。

次に、$x^2+y^2$ を $x$ の関数として表します。

$y=4-x$ より、

$x^2+y^2 = x^2 + (4-x)^2 = x^2 + 16 - 8x + x^2 = 2x^2 - 8x + 16$ となります。

$f(x) = 2x^2 - 8x + 16$ とおくと、

$f(x) = 2(x^2 - 4x) + 16 = 2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 16 = 2(x-2)^2 - 8 + 16 = 2(x-2)^2 + 8$ となります。

$0 \le x \le 4$ の範囲で、$f(x)$ の最大値と最小値を求めます。

$f(x) = 2(x-2)^2 + 8$ は、$x=2$ で最小値 $f(2) = 8$ をとります。

$x=0$ のとき、$f(0) = 2(0-2)^2 + 8 = 2(4) + 8 = 8+8 = 16$ となり、

$x=4$ のとき、$f(4) = 2(4-2)^2 + 8 = 2(4) + 8 = 8+8 = 16$ となります。

したがって、$x^2+y^2$ の最大値は $16$ であり、最小値は $8$ です。

3. 最終的な答え

$x$ のとりうる値の範囲：$0 \le x \le 4$

$x^2+y^2$ の最大値：$16$

$x^2+y^2$ の最小値：$8$