異なる正の数 $x, y$ が $\log_x y + \log_y x = \frac{5}{2}$ を満たすとき、$\log_x y^2 + \log_{y^2} x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

異なる正の数 $x, y$ が $\log_x y + \log_y x = \frac{5}{2}$ を満たすとき、$\log_x y^2 + \log_{y^2} x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log_y x = \frac{1}{\log_x y}$ であることを利用して、与えられた式を書き換えます。

$\log_x y = t$ と置くと、

$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$

となります。この式を解くと、

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

$(2t - 1)(t - 2) = 0$

したがって、$t = \frac{1}{2}, 2$

次に、求めたい式 $\log_x y^2 + \log_{y^2} x$ を計算します。

$\log_x y^2 + \log_{y^2} x = 2 \log_x y + \frac{1}{2} \log_y x$

$\log_x y = t$ と置いているので、$\log_y x = \frac{1}{t}$ となり、

$2t + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t} = 2t + \frac{1}{2t}$

となります。

$t = \frac{1}{2}$ のとき、$2t + \frac{1}{2t} = 2 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 1 + 1 = 2$

$t = 2$ のとき、$2t + \frac{1}{2t} = 2 \cdot 2 + \frac{1}{2 \cdot 2} = 4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

ただし、$x$ と $y$ が異なる正の数である必要があるので、$t = \log_x y \neq 1$ である必要があります。

$t = \frac{1}{2}$ の場合、$x^{\frac{1}{2}} = y$ となり、$x \neq y$ なので条件を満たします。

$t = 2$ の場合、$x^2 = y$ となり、$x \neq y$ なので条件を満たします。

ここで問題文を再度確認すると、$x$ と $y$ は 1 と異なる正の数とあります。

$t = 1/2$ の場合、$\log_x y = \frac{1}{2}$ より、$y = x^{1/2}$

$t = 2$ の場合、$\log_x y = 2$ より、$y = x^{2}$

$\log_x y^2 + \log_{y^2} x$ の値は、$t = \frac{1}{2}$ のとき 2 であり、$t = 2$ のとき $\frac{17}{4}$ であることがわかります。

$x$ と $y$ が異なる正の数である条件を満たし、$x,y$は1と異なる正の数であることから、

$t = \frac{1}{2}, 2$ はどちらも解として可能です。

3. 最終的な答え

$\log_x y^2 + \log_{y^2} x = 2, \frac{17}{4}$