定義域が $-1 < x < 1$ である関数 $f_p(x) = \frac{x - p}{1 - px}$ と $f_q(x) = \frac{x - q}{1 - qx}$ (ただし $-1 < p < 1, -1 < q < 1$) について、以下の3つの問いに答えます。 * (1) 定義域内のすべての $x$ に対して、$-1 < f_q(x) < 1$ を示してください。 * (2) 定義域内のすべての $x$ に対して、$f_p(f_q(x)) = \frac{x - r}{1 - rx}$ を満たすとき、$r$ を $p$ と $q$ を用いて表し、$-1 < r < 1$ を示してください。 * (3) 定義域内のすべての $x$ に対して、$f_p(f_q(x)) = f_q(x)$ を満たす $p$ を求めてください。

## 数学の問題

1. 問題の内容

定義域が $-1 < x < 1$ である関数 $f_p(x) = \frac{x - p}{1 - px}$ と $f_q(x) = \frac{x - q}{1 - qx}$ (ただし $-1 < p < 1, -1 < q < 1$) について、以下の3つの問いに答えます。

* (1) 定義域内のすべての $x$ に対して、$-1 < f_q(x) < 1$ を示してください。

* (2) 定義域内のすべての $x$ に対して、$f_p(f_q(x)) = \frac{x - r}{1 - rx}$ を満たすとき、$r$ を $p$ と $q$ を用いて表し、$-1 < r < 1$ を示してください。

* (3) 定義域内のすべての $x$ に対して、$f_p(f_q(x)) = f_q(x)$ を満たす $p$ を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) $-1 < f_q(x) < 1$ を示す。

$f_q(x) < 1$ を示す:

$\frac{x - q}{1 - qx} < 1$

$x - q < 1 - qx$

$x + qx < 1 + q$

$x(1 + q) < 1 + q$

$-1 < q < 1$ より $1 + q > 0$ であるため、

$x < 1$

これは定義域 $-1 < x < 1$ より成り立つ。

$-1 < f_q(x)$ を示す:

$-1 < \frac{x - q}{1 - qx}$

$-1 + qx < x - q$

$q + qx < x + 1$

$q(1 + x) < 1 + x$

$1 + x > 0$ より

$q < 1$

これは $-1 < q < 1$ より成り立つ。

したがって、$-1 < f_q(x) < 1$ が示された。

(2) $r$ を $p$ と $q$ で表し、$-1 < r < 1$ を示す。

$f_p(f_q(x))$ を計算する:

$f_p(f_q(x)) = f_p(\frac{x - q}{1 - qx}) = \frac{\frac{x - q}{1 - qx} - p}{1 - p\frac{x - q}{1 - qx}} = \frac{(x - q) - p(1 - qx)}{(1 - qx) - p(x - q)} = \frac{x - q - p + pqx}{1 - qx - px + pq} = \frac{(1 + pq)x - (p + q)}{1 + pq - (p + q)x}$

$f_p(f_q(x)) = \frac{x - r}{1 - rx}$ より、

$\frac{(1 + pq)x - (p + q)}{1 + pq - (p + q)x} = \frac{x - r}{1 - rx}$

両辺の分子と分母を比較すると、

$r = p + q$

次に、$-1 < r < 1$ を示す。

$-1 < p < 1$ かつ $-1 < q < 1$ より、

$-2 < p + q < 2$

しかし、$p$ と $q$ が同時に 1 に近づくことはないので、$p+q = 2$ になることはない。同様に、$p$ と $q$ が同時に -1 に近づくこともないので、$p+q = -2$ になることはない。

$p + q = r$ より、$|r| = |p + q| \le |p| + |q| < 1 + 1 = 2$ となるが、これだけでは$-1 < r < 1$ は示せない。

ここで、$r = p+q$ とすると、

$\frac{(1+pq)x - (p+q)}{1+pq - (p+q)x} = \frac{(1+pq)(x - \frac{p+q}{1+pq})}{-(p+q)x + (1+pq)} = \frac{x - \frac{p+q}{1+pq}}{1 - \frac{p+q}{1+pq}x}$.

よって、$r = \frac{p+q}{1+pq}$ となる。この時、$-1<r<1$を示す。

$\frac{p+q}{1+pq} < 1$ を示す。

$p+q < 1 + pq$

$0 < 1 - p - q + pq = (1-p)(1-q)$. $-1<p<1$かつ$-1<q<1$より、$1-p>0$かつ$1-q>0$なので成り立つ。

$-1 < \frac{p+q}{1+pq}$ を示す。

$-1-pq < p+q$

$0 < p+q+1+pq = (1+p)(1+q)$. $-1<p<1$かつ$-1<q<1$より、$1+p>0$かつ$1+q>0$なので成り立つ。

よって、$-1<r<1$が示せた。

(3) $f_p(f_q(x)) = f_q(x)$ を満たす $p$ を求める。

$f_p(f_q(x)) = \frac{x - r}{1 - rx} = f_q(x) = \frac{x - q}{1 - qx}$

$\frac{x - r}{1 - rx} = \frac{x - q}{1 - qx}$

$r = q$

(2) より $r = \frac{p + q}{1 + pq}$ であるから、

$\frac{p + q}{1 + pq} = q$

$p + q = q(1 + pq)$

$p + q = q + pq^2$

$p = pq^2$

$p(1 - q^2) = 0$

$-1 < q < 1$ より $1 - q^2 \neq 0$ なので、$p = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-1 < f_q(x) < 1$ である。

(2) $r = \frac{p + q}{1 + pq}$ であり、$-1 < r < 1$ である。

(3) $p = 0$ である。