ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求める。

1. 問題の内容

ある放物線を$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動したところ、$y = -2x^2 + 3x - 1$になった。元の放物線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

平行移動の逆を考える。$x$軸方向に1、$y$軸方向に-2だけ平行移動した結果が$y = -2x^2 + 3x - 1$であるから、元の放物線は、$x$軸方向に-1、$y$軸方向に2だけ平行移動すればよい。

$x$軸方向に-1平行移動するには、$x$を$x+1$に置き換える。

$y$軸方向に2平行移動するには、$y$を$y-2$に置き換える。

したがって、元の放物線の方程式は、

$y-2 = -2(x+1)^2 + 3(x+1) - 1$となる。

これを整理して$y$について解く。

$y-2 = -2(x^2+2x+1) + 3x + 3 - 1$

$y-2 = -2x^2 - 4x - 2 + 3x + 2$

$y-2 = -2x^2 - x$

$y = -2x^2 - x + 2$

3. 最終的な答え

$y = -2x^2 - x + 2$